[論文レビュー] NP is not AL and P is not NC is not NL is not L

Koji Kobayashi|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2011

Model-Driven Software Engineering Techniques被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、計算問題の依存構造を分析し、特定の対称的または分岐的計算パターン（特にTWINE問題において）を効率的にシミュレートできないため、決定的チューリング機械（DTM）が空間的制約および並列性制約により、ある種の計算パターンを効率的にシミュレートできないことを利用して、NP ≠ AL、P ≠ NC、NC ≠ NL、NL ≠ Lを証明している。主な貢献は、対称的かつ高complexityなパスを含む有向無閉路グラフ（DAG）において、対数領域のDTMが指数的オーバーヘッドを伴わずに処理できないという複雑性理論的分離である。

ABSTRACT

This paper talk about that NP is not AL and P, P is not NC, NC is not NL, and NL is not L. The point about this paper is the depend relation of the problem that need other problem's result to compute it. I show the structure of depend relation that could divide each complexity classes.

研究の動機と目的

• 主な複雑性クラスであるNP、AL、P、NC、NL、Lの間の厳密な分離を確立すること。
• ある問題の解が別の問題の結果に依存する計算問題の依存構造を分析すること。
• 決定的対数領域機械（LDTM）がNPおよびNL問題に見られる対称的または分岐的計算パターンを効率的にシミュレートできないことを示すこと。
• 『ブロッキング問題』と『結合問題』の概念を形式化し、複雑性クラスにおける依存関係をモデル化すること。
• TWINE問題が決定的対数領域で解けないことを証明し、LとNLおよびそれ以上のクラスを分離すること。

提案手法

• 計算の基本単位として『アクション構成』を導入し、状態、遷移関数、ヘッド位置、テープ記号を含む。
• 仮想チューリング機械（VTM）を定義し、ユニバーサルチューリング機械（UTM）内にエミュレートされた機械として扱い、各VTMのアクション構成を対数領域で記録可能であるとみなす。
• 計算履歴をモデル化するために有向無閉路グラフ（DAG）を用いる：DTM（単一パス）、NTM（ターゲット構成の集合を含むDAG）、ATM（集合の族）。
• 依存関係をモデル化するために『ブロッキング問題』と『変数問題』を導入：問題P_iは、P_jが事前に解決されている必要がある。
• 『結合問題』（CP）を定義し、互いに依存する問題の集合として定義し、その充足可能性が全体の結果を決定づける。
• 対称性およびパス数の数え上げ的議論を用いて、LDTMがTWINEにおける指数的多数の対称的ローテートパスを、並列かつ非重複的な計算なしに処理できないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 決定的対数領域機械（LDTM）は、TWINE問題が要請する対称的計算パスをシミュレートできるか？
• RQ2 なぜ複雑性クラスLはNLよりも厳密に小さいのか？LDTMがNL完全問題を解けない構造的制限は何なのか？
• RQ3 問題間の依存鎖（ブロッキング問題および変数問題）は、複雑性クラスの分離にどのように影響するか？
• RQ4 TWINEにおける対称的ローテートパスの数が、L ⊄ TWINEの証明に果たす役割は何か？
• RQ5 なぜNTMは対称的要素配置を並列で処理できるが、DTMはできないのか？

主な発見

• LDTMは、O(n^{L(P₀→P₀)})の対称的ローテートパスを処理しなければならず、その容量がO(n)に制限されているため、TWINEを計算できない。
• TWINEにおける異なるローテートパス列の数はO(n^{L(P₀→P₀)}) > O(n^c)であり、これはLDTMのO(n)の要素区別能力を超過する。
• LDTMは、複数のマシンに分割しない限り、対称的パスを並列にシミュレートできない。この場合、O(L(P₀→P₀))個のコールャー・キャリーLDTMペアの連鎖を必要とする。
• 連鎖内の各LDTMは互いに別個の領域を使用し、結果を共有できないため、定数領域でのシミュレーションは失敗し、L ⊄ TWINEが証明される。
• NL ⊃ Lは厳密に成り立つ。なぜならTWINE ∈ NLだがTWINE ∉ Lであり、NLには決定的対数領域では表現できない非決定的分岐を要する問題が含まれるからである。
• 論文は、NP ⊃ AL = P ⊃ NC ⊃ NL ⊃ Lという厳密な階層を結論づけ、すべての分離が非自明であることを確立する。