[論文レビュー] NPT Bound Entanglement- The Problem Revisited

Indrani Chattopadhyay, Debasis Sarkar|ArXiv.org|Sep 6, 2006

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ひとこと要約

この論文は、$d\times d$系において $d \geq 3$ のとき、負の部分転置を持つ束縛もつれ状態（NPT）が存在するかどうかという未解決問題を再考する。特定のスミッドランク2状態に関する境界を仮定し、予想されるNPT状態の複数コピーの部分転置を分析することで、$(\rho^{\otimes N})^{T_A}$ に対する任意のスミッドランク2状態とのトレースが非負のまま残ることを示し、2コピーの非精錬可能性を示唆するとともに、これらの仮定の下でNPT束縛もつれ状態の存在を支持する。

ABSTRACT

Recently [quant-ph/0608250] again created a lot of interest to prove the existence of bound entangled states with negative partial transpose (NPT) in any $d imes d (d \geq 3)$ Hilbert space. However the proof in quant-ph/0608250 is not complete but it shows some interesting properties of the Schmidt rank two states. In this work we are trying to probe the problem in a different angle considering the work by Dür et.al [Phys. Rev. A, 61, 062313(2000)]. We have assumed that the Schmidt rank two states should satisfy some bounds. Under some assumptions with these bounds one could prove the existence of NPT bound entangled states. We particularly discuss the case of two copy undistillability of the conjectured family of NPT states. Obviously the class of NPT bound entangled states belong to the class of conjectured to be bound entangled states by Divincenzo et.al [Phys. Rev. A, 61, 062312(2000)] and by Dür et.al [Phys. Rev. A, 61, 062313(2000)]. However the problem of existence of NPT bound entangled states still remain open.

研究の動機と目的

• $d \geq 3$ の $d\times d$二部系における負の部分転置を持つ束縛もつれ状態（NPT）の存在を調査すること。
• すべてのNPT状態が必ず精錬可能であるかどうか、あるいはNPT束縛もつれ状態が存在するかどうかという長年の未解決問題に取り組むこと。
• スミッドランク2状態のための境界に基づく、新たな解析的枠組みを提供し、予想されるNPT状態族の非精錬可能性を評価すること。
• 特定の仮定のもとで、状態の複数コピーの部分転置がすべてのスミッドランク2状態に対して非負の期待値を示すことを示し、非精錬可能性を示すこと。

提案手法

• スミッドランク2状態の展開における非対角項の出現頻度に特定の境界を仮定する。
• 部分転置 $(\rho^{\otimes N})^{T_A}$ を分析し、任意のスミッドランク2状態 $|\psi\rangle$ に対して、トレース $ \langle \psi | (\rho^{\otimes N})^{T_A} | \psi \rangle \geq 0 $ が成り立つことを示し、精錬不可能性を示す。
• 対称性と演算子の個数数え上げ：$(\rho^{\otimes N})^{T_A}$ において、$ |ijk\cdots\rangle\langle pqr\cdots| $ のような非対角項とその転置形が等しい回数だけ出現することにより、トレースが非負になることを保証する。
• $N=2$ から一般の $N$ への分析の拡張：このような項の出現回数は $2^{N-1}$ 倍に増加するが、部分転置のもとでバランスが保たれる。
• 特定のヴェルナークラス状態 $ \rho(\lambda) $ に分析を適用する。これは $ \frac{1}{d-1} < \lambda \leq 1 $ のときNPT束縛もつれであると予想されている。
• もし $ \langle \psi | (\rho^{\otimes N})^{T_A} | \psi \rangle \geq 0 $ がすべてのスミッドランク2状態 $|\psi\rangle$ に対して成り立つならば、その状態は $N$ コピー非精錬可能であることが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $d \geq 3$ の $d\times d$ 系においてNPT束縛もつれ状態が存在するか？
• RQ2 予想されるNPT状態族 $\rho(\lambda)$ が、任意の数のコピーについてもLOCCで精錬可能でないか？
• RQ3 スミッドランク2状態の演算子頻度に関する特定の境界が、$N$ コピー非精錬可能性を示し、NPT束縛もつれを支持するか？
• RQ4 PPT束縛もつれと予想されるNPT束縛もつれ状態のテンソル積により、精錬可能もつれの非加法性および非凸性を示せるか？
• RQ5 $(\rho^{\otimes N})^{T_A}$ における非対角項の多重度の対称性が、すべてのスミッドランク2状態に対して非負の期待値を保証するか？

主な発見

• 非対角項が部分転置のもとでバランスの取れた多重度をとるという仮定のもとで、$(\rho^{\otimes N})^{T_A}$ と任意のスミッドランク2状態とのトレースは非負であり、$N$ コピー非精錬可能であることが示される。
• 分析により、$N=2,3$ および一般の $N$ に対して、$ |ijk\cdots\rangle\langle pqr\cdots| $ およびその転置形の項が $(\rho^{\otimes N})^{T_A}$ に等しい回数だけ出現することが示され、期待値が非負になることが保証される。
• $d \geq 3$ の $d\times d$ 系における予想される $\rho(\lambda)$ 状態族は、これらの仮定のもとで2コピー非精錬可能であることが示され、NPT束縛もつれ状態としての分類が支持される。
• 本論文は、スミッドランク2状態の境界が妥当であると仮定すれば、NPT束縛もつれ状態の存在が示される枠組みを提供するが、その境界がすべての状態に対して厳密に証明されたわけではない。
• この結果は、精錬可能もつれが非加法的かつ非凸的であることを示唆しており、PPT束縛もつれと予想されるNPT束縛もつれ状態のテンソル積が非ゼロの精錬可能もつれをもたらすことで裏付けられる。
• 本研究は、NPT束縛もつれの問題が未解決のままであることを再確認するとともに、提案された仮定がその解決への現実的な道筋を提供することを示している。