[論文レビュー] Nuclear norm minimization for the planted clique and biclique problems

Brendan Ames, Stephen A. Vavasis|ArXiv.org|Jan 21, 2009

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 15被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、圧縮センシングにおける凸緩和技法である核ノルム最小化を用いて、NP困難な最大クリークおよび最大辺バイクリーク問題を解く手法を提案する。グラフにランダムまたは敵対的ノイズを含む隠れた（プラントされた）クリークまたはバイクリークが存在する場合、プラントされた部分グラフが全体のグラフサイズに対して十分に大きい限り、この手法は高確率で真のクリークまたはバイクリークを正確に回復する。

ABSTRACT

We consider the problems of finding a maximum clique in a graph and finding a maximum-edge biclique in a bipartite graph. Both problems are NP-hard. We write both problems as matrix-rank minimization and then relax them using the nuclear norm. This technique, which may be regarded as a generalization of compressive sensing, has recently been shown to be an effective way to solve rank optimization problems. In the special cases that the input graph has a planted clique or biclique (i.e., a single large clique or biclique plus diversionary edges), our algorithm successfully provides an exact solution to the original instance. For each problem, we provide two analyses of when our algorithm succeeds. In the first analysis, the diversionary edges are placed by an adversary. In the second, they are placed at random. In the case of random edges for the planted clique problem, we obtain the same bound as Alon, Krivelevich and Sudakov as well as Feige and Krauthgamer, but we use different techniques.

研究の動機と目的

• 凸最適化を用いて、NP困難な最大クリークおよび最大辺バイクリーク問題を扱う。
• 核ノルム最小化が、追加のノイズエッジを含むグラフにおける隠れた（プラントされた）クリークまたはバイクリークを正確に回復できるかどうかを調査する。
• 敵対的およびランダムノイズモデルの両方において、凸緩和が正確な解をもたらす理論的条件を確立する。
• 核ノルム最小化の適用範囲を、圧縮センシングを超えて、クリークおよびバイクリーク検出のような組合せ最適化問題へ拡張する。
• 凸最適化ツールを用いて解の一意性と最適性を証明する統一的な枠組みを提供する。

提案手法

• 隣接行列上の行列ランク最小化問題として、最大クリークおよび最大辺バイクリーク問題を定式化する。
• ランク最小化問題を凸でない非凸問題から、核ノルム最小化問題への凸緩和に変換し、トレースノルムをランクの代理として用いる。
• 核ノルム緩和を用いて、プラントされたクリークまたはバイクリーク構造に対応する低ランク解を求める。
• 集中不等式（チェルノフ束）およびランダム行列理論を用いて、ノイズ行列のスペクトルノルムを評価する。
• 凸緩和の最適解が一意であり、かつプラントされた部分グラフに正確に一致する条件を導出する。
• 重み付き隣接行列とスペクトルノルムを用いた双対証明を構築し、最適性および一意性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 敵対的ノイズエッジを含むグラフにおけるプラントされたクリークを、核ノルム最小化が正確に回復する条件は何か？
• RQ2 二部グラフにおける敵対的エッジ摂動下でも、核ノルム最小化はプラントされたバイクリークを正確に回復できるか？
• RQ3 プラントされたクリーク問題におけるランダムエッジモデルにおいて、核ノルム最小化の性能は従来のスペクトル法と比べてどうか？
• RQ4 核ノルム緩和による正確な回復が達成されるために必要なプラントされたクリークまたはバイクリークの最小サイズは何か？
• RQ5 この凸緩和技術は、隠れた部分構造を有する他のNP困難な組合せ最適化問題へ拡張可能か？

主な発見

• 敵対的プラントされたクリーク問題において、便宜的エッジの数が $ O(n^2) $ 以下であり、かつ非クリーク頂点が $ O(n) $ 個以下のクリーク頂点に接続されていない限り、核ノルム緩和は正確にクリークを回復する。
• 敵対的プラントされたバイクリーク問題において、便宜的エッジの数が $ O(mn) $ 以内であり、非バイクリーク頂点の次数制約が満たされていれば、この手法は成功する。
• ランダムエッジモデルでは、$ N \to \infty $ の下で、サイズ $ n = \Omega(\sqrt{N}) $ のプラントされたクリークが高確率で正確に回復され、アロンらおよびフェイジとクルーグラムの先行結果と一致する。
• 固定確率 $ p $ でランダムにエッジが挿入される条件下でも、サイズ $ m = \Omega(\sqrt{N}) $ および $ n = \Omega(\sqrt{N}) $ のプラントされたバイクリークが高確率で回復される。
• ノイズ行列 $ W $ のスペクトルノルムが、提示された条件下で1未満であることが示されたことから、解は双対証明条件により一意であると証明される。
• 分析はチェルノフ束および古典的ランダム行列の結果にのみ依存しており、マルティングールドなどの複雑な道具を避けており、一部の先行手法とは異なり、バイクリーク問題へ自然に拡張可能である。