[論文レビュー] Nuclear semimodules and kernel theorems in idempotent analysis. An algebraic approach

Grigori Litvinov, Grigori Shpiz|ArXiv.org|Jun 4, 2002

Matrix Theory and Algorithms参考文献 2被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、イドポテン型積分を用いた線形作用素の積分表現が成立する代数的条件を確立する。主な貢献は、$b$-完備な半モジュール $V$ において、核定理が成り立つための必要十分条件を示したことである。それは、すべての $b$-線形汎関数が積分可能であることと、$V$ が $b$-核的であること（同値に、$V$ 上の恒等作用素が $b$-核的であること）と同値である。

ABSTRACT

In this note we describe conditions under which, in idempotent functional analysis, linear operators have integral representations in terms of idempotent integral of V. P. Maslov. We define the notion of nuclear idempotent semimodule and describe idempotent analogs of the classical kernel theorems of L. Schwartz and A. Grothendieck. Our results provide a general description of a class of subsemimodules of the semimodule of all bounded functions with values in the Max-Plus algebra where some kind of kernel theorem holds, thus addressing an open problem posed by J. Gunawardena. Previously, some theorems on integral representations were obtained for a number of specific semimodules consisting of continuous or bounded functions taking values mostly in the Max-Plus algebra. In this work, a rather general case of semimodules over boundedly complete idempotent semirings is considered.

研究の動機と目的

• イドポテン積分を用いた線形作用素の積分表現が成立する条件を同定すること。
• 核的空間のイドポテン解析における類似物としての $b$-核的半モジュールの概念を定義し、研究すること。
• $b$-完備なイドポテン半環上の関数的半モジュールにおける核定理の成立条件を十分かつ必要条件として確立すること。
• 古典的なシュワーツおよびグロテンディークの核定理を、代数的および順序論的技法を用いてイドポテン解析の文脈へ一般化すること。

提案手法

• 古典的解析における核的作用素を一般化した、有界集合上の1次元 $b$-線形写像の和として定義される $b$-核的作用素の概念を導入する。
• $b$-完備関数的半モジュール（IFS）を、スカラー乗法および上限に関して閉じた上半ラティスとして定義し、$b$-完備性により有界上限の収束を保証する。
• 核表現 $Af = \bigoplus_{x \to X} f(x) \triangledown k(x)$ を用い、ここで $k$ は核関数であり、すべての $f \to V$ に対して集合 $\bigcup_{x \to X} \big\brace f(x) \triangledown k(x) \big\brace$ が $W$ で有界であることを要請する。
• $V$ 上のすべての $b$-線形汎関数が積分可能であると仮定すると、$b$-線形作用素 $A: V \to W$ が積分表現を持つための必要十分条件は、$A$ が $b$-核的であることであることを示す。
• $\triangle(V)$-関数空間を $\triangle$-汎関数として定義し、自然な埋め込み $i_\triangle: V \to K(\triangle(V))$ を構成して、$V$ を IFS として表現する。
• $V$ において核定理が成り立つための必要十分条件は、$V$ 上の恒等写像が $b$-核的であること、あるいは同値に、$i_\triangle$ が埋め込みであり、$i_\triangle(V)$ 上の恒等写像が積分的であることであることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $b$-完備関数的半モジュール上での $b$-線形作用素が、マスロフのイドポテン積分を用いて積分表現を持つための条件は何か？
• RQ2 関数解析における核的性のイドポテン解析における類似物は何か？ そしてそれは作用素の積分表現とどのように関係するか？
• RQ3 $b$-完備なイドポテン半環 $K$ 上の $b$-完備関数的半モジュール $V$ において、核定理がいつ成立するか？
• RQ4 半モジュールの $b$-核的性と、その恒等作用素の積分表現とはどのように関係するか？
• RQ5 任意の $b$-核的半モジュールは、核定理が成り立つ関数的半モジュールに、同型的に埋め込めるか？

主な発見

• $b$-線形作用素 $A: V \to W$ が $b$-完備半モジュール間で定義されるとき、$V$ 上のすべての $b$-線形汎関数が積分可能である限り、$A$ が積分表現を持つための必要十分条件は、$A$ が $b$-核的であることである。
• $b$-核的半モジュールは、任意の $b$-完備半モジュールへのすべての $b$-線形写像が $b$-核的であるような $b$-完備半モジュールとして特徴づけられる。
• $b$-完備半モジュール $V$ が $b$-近似性質を持つための必要十分条件は、$V$ 上の恒等作用素が $b$-核的であることである。
• $b$-部分半モジュール $V \to K(X)$ において核定理が成り立つための必要十分条件は、$V$ が $b$-核的であり、かつ $V$ 上のすべての $b$-線形汎関数が積分的であることである。
• 核定理が $V$ で成り立つための必要十分条件は、$V$ 上の恒等作用素が積分的であることであり、これは同値に、自然埋め込み $i_\triangle: V \to K(\triangle(V))$ の像上の恒等写像が積分的であることである。
• 任意の $b$-核的半モジュール $V$ は、普遍埋め込み $i_\triangle$ を用いて、核定理が成り立つ関数的半モジュール $i_\triangle(V)$ に同型的に埋め込める。