[論文レビュー] Nuclearity of semigroup C*-algebras

Astrid an Huef, Brita E. A. Nucinkis+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2019

Advanced Operator Algebra Research参考文献 29被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、弱擬ラティス順序群に関連する半群C*-代数の核性を示すために、アメニタブル群への制御写像の新しい定義を導入する。主な結果は、K がアメニタブルで、C*(ker μ, ker μ ∩ P) が核性であるような制御写像 μ: (G,P) → (K,Q) が存在するならば、C*(G,P) が核性であるというものである。この手法は、共作用による固定点代数と条件付き期待の忠実性を用い、先行研究を、バウムスラグ＝ソリター半群やアメニタブルな弱擬ラティスのグラフ積を含む1関係式半群へと拡張する。

ABSTRACT

We study the semigroup C*-algebra of a positive cone P of a weakly quasi-lattice ordered group. That is, P is a subsemigroup of a discrete group G with P\cap P^{-1}=\{e\} and such that any two elements of P with a common upper bound in P also have a least upper bound. We find sufficient conditions for the semigroup C*-algebra of P to be nuclear. These conditions involve the idea of a generalised length function, called a "controlled map", into an amenable group. Here we give a new definition of a controlled map and discuss examples from different sources. We apply our main result to establish nuclearity for semigroup C*-algebras of a class of one-relator semigroups, motivated by a recent work of Li, Omland and Spielberg. This includes all the Baumslag--Solitar semigroups. We also analyse semidirect products of weakly quasi-lattice ordered groups and use our theorem in examples to prove nuclearity of the semigroup C*-algebra. Moreover, we prove that the graph product of weak quasi-lattices is again a weak quasi-lattice, and show that the corresponding semigroup C*-algebra is nuclear when the underlying groups are amenable.

研究の動機と目的

• 準ラティス順序の範囲を超えて、弱擬ラティス順序群に対する半群C*-代数の核性結果を拡張すること。
• バウムスラグ＝ソリター半群における負の関係を含むような、無限大降順鎖の問題を解決すること。
• 正の錐に非自明な核を持つように、制御写像の概念を一般化し、新たな核性基準を可能にすること。
• 新しい枠組みを用いて、1関係式半群、半直積、弱擬ラティスのグラフ積の核性を証明すること。
• 境界商と既存の分類定理を用いて、核性とK理論的分類との間の関係を確立すること。

提案手法

• 正の錐に非自明な核を許容する制御写像の新しい定義（定義3.6）を導入し、無限大降順鎖に対応可能にする。
• 制御写像 μ によって誘導されるアメニタブル群 K の C*(G,P) への共作用を用い、固定点代数 C*(G,P)δμ を得る。
• 写像 μ に関連する部分空間上のトーピツ表現の忠実性を示すことにより、固定点代数が核性であることを証明する。
• 条件付き期待 E: C*(G,P) → span{wpw* : p ∈ P} の忠実性を、条件付き期待の鎖と忠実性の議論を用いて確立する。
• [29, 定理2.17] を適用し、固定点代数が核性で K がアメニタブルであるならば、C*(G,P) が核性であると結論づける。
• 新しい制御写像枠組みを用いて、弱擬ラティスの半直積とグラフ積を分析し、アメニタブル性の仮定の下で核性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の錐に無限大降順鎖を含む弱擬ラティス順序群に対して、半群C*-代数の核性を確立できるか？
• RQ2 新しい制御写像の定義は、従来の制御写像枠組みの範囲を超えて、半群C*-代数の核性結果を可能にするか？
• RQ3 新しい枠組みは、負の関係を含む1関係式半群、例えばバウムスラグ＝ソリター半群に対して核性を証明できるか？
• RQ4 アメニタブル群の共作用による固定点代数が核性である条件は何か？ そして、それが元のC*-代数の核性をどのように示唆するか？
• RQ5 弱擬ラティスのグラフ積は再び弱擬ラティスであるか？ また、その半群C*-代数はいつ核性を示すか？

主な発見

• K がアメニタブルで、C*(ker μ, ker μ ∩ P) が核性であるような制御写像 μ: (G,P) → (K,Q) が存在するならば、半群C*-代数 C*(G,P) は核性である。
• 新しい制御写像の定義は、負の関係を含むバウムスラグ＝ソリター半群（例：BS(c, -d)+）における高さ写像を含み、従来の制御写像定義ではカバーされなかった。
• すべてのバウムスラグ＝ソリター半群、負の関係を含むものも含めて、新しい枠組みのもとで核性を持つ半群C*-代数を有する。
• 基礎となる群がアメニタブルであるとき、弱擬ラティスのグラフ積は再び弱擬ラティスであり、対応する半群C*-代数は核性を示す。
• 弱擬ラティス順序群の半直積は、制御写像の条件を満たし、核の代数が核性である場合、核性を持つ半群C*-代数をもたらす。
• 固定点代数が核性で、群 K がアメニタブルであるならば、条件付き期待 E: C*(G,P) → span{wpw* : p ∈ P} は忠実である。これは核性を証明する上で重要なステップである。