[論文レビュー] Nuclei and exotic 4-manifolds

Kouichi Yasui|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 26被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、相対的 genus 関数とコルトねじりを用いて、境界付きコンパクト4次元多様体に無限個の異種微分構造を構成するため、4次元多様体におけるGompf核の一般化された概念を導入する。多くの3次元多様体、特にスティーン可解な多様体が、無限個の微分同相でない微分構造を持つ4次元多様体を境界として持つことを証明し、スティーンおよび非スティーンの両方の4次元多様体を、位相的に同相だが微分同相でない形で構成する。

ABSTRACT

We introduce a new generalization of Gompf nuclei and give applications. We construct infinitely many exotic smooth structures for a large class of compact 4-manifolds with boundary, regarding topological invariants. We prove that a large class of closed 3-manifolds (including disjoint unions of Stein fillable 3-manifolds) bound compact connected oriented 4-manifolds which admit infinitely many smooth structures. To detect smooth structures, we introduce a relative genus function. As a side result, we show that log transform and knot surgery of 4-manifolds do not admit any Stein structure, under a mild condition. Applying these results together with corks, we construct arbitrary many compact Stein 4-manifolds and infinitely many non-Stein 4-manifolds which are all homeomorphic but mutually non-diffeomorphic.

研究の動機と目的

• 閉じた4次元多様体からの異種微分構造の理論を、境界付きコンパクト4次元多様体へと拡張すること。
• 非閉じた状況における微分構造を検出するための有効な不変量の欠如に対処すること。
• 大きなクラスの3次元多様体が、無限個の異なる微分構造を持つ4次元多様体を境界として持つかどうかを特定すること。
• コルトねじりとハンドル体技術を用いて、位相的に同型だが微分同型でないスティーンおよび非スティーンの4次元多様体を構成すること。

提案手法

• cusp近傍を含む一般化されたGompf核の新定義により、非閉じた4次元多様体における異種構造の構成を可能にする。
• やや弱い位相的条件下で、対数変換およびけんちく手術操作を適用して、新たな微分構造を生成する。
• 相対的 genus 関数を定義し、相対的シーベルグ＝ワトソンまたはオルシュヴァース＝ツァボー不変量の制限を回避する。
• コルトねじりを用いて、位相的不変量（ホモロジー群や交差形式）を保ちながら、位相的に同型だが微分同型でない4次元多様体を生成する。
• Legendrianハンドル体技術およびハンドルスライディングを用いて、核埋め込みを正規化しつつスティーン構造を保存する。
• 構成された4次元多様体を、非ゼロのSeiberg-Witten不変量を持つ閉じたシンプレクティック4次元多様体に埋め込み、定理1.1を適用して異種微分構造を検出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 核を備え、非ゼロのSeiberg-Witten不変量を持つ閉じた4次元多様体に埋め込めるコンパクト4次元多様体に対して、境界付きの場合に無限個の異種微分構造を構成できるか？
• RQ2 すべてのスティーン可解3次元多様体は、無限個の異なる微分構造を持つコンパクト4次元多様体を境界として持つか？
• RQ3 任意の指定された基本群と交差形式を持つ、位相的に同型だが互いに微分同型でないスティーンおよび非スティーンの4次元多様体を構成できるか？
• RQ4 対数変換およびけんちく手術が、どのような条件下で4次元多様体においてスティーン構造を許容しないか？
• RQ5 相対的 genus 関数は、境界付きコンパクト4次元多様体設定において、微分構造を効果的に検出できるか？

主な発見

• 任意の境界付きコンパクト4次元多様体が核を含み、$b_2^+ > 1$ かつ非ゼロのSeiberg-Witten不変量を持つ閉じた4次元多様体に埋め込める場合、それらはすべて位相的に同型だが互いに微分同型でない無限個の微分構造を持つ。
• すべてのスティーン可解3次元多様体（それらの非交和を含む）は、無限個の異なる微分構造を持つコンパクト4次元多様体を境界として持つ。
• 任意の有限生成群 $G$ に対して、基本群が $G$ に同型である任意の数のコンパクトスティーン4次元多様体と、無限個の非スティーン4次元多様体が存在し、それらはすべて位相的に同型だが微分同型でない。
• 任意の整数係数対称双線形形式 $Q$ および単位的不定形式 $R$ に対して、交差形式が $Q \oplus R$ に同型である、任意の数の単連結コンパクトスティーン4次元多様体と無限個の非スティーン4次元多様体が存在し、それらはすべて位相的に同型だが微分同型でない。
• やや弱い条件下で、対数変換およびけんちく手術は、いかなるスティーン構造も許容しない。これは、これらの手術後にスティーン構造が存在しないという非存在結果をもたらす。
• 相対的 genus 関数は、境界付きコンパクト4次元多様体設定において、微分構造を効果的に検出でき、この文脈で相対的シーベルグ＝ワトソン不変量の代替として有効である。