[論文レビュー] Null controllability from the exterior of a one-dimensional nonlocal heat equation

Mahamadi Warma, Sebastián Zamorano|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2018

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 41被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、区間 $(-1,1)$ 上で分数ラプラシアン作用素 $(-∂_x^2)^s$ によって記述される1次元非局所熱方程式の、外部領域 $ℝ \setminus (-1,1)$ 内に局在化された制御によるゼロ可制御性を確立する。任意の時間 $T > 0$ において、システムがゼロ可制御であるための必要十分条件は $\frac{1}{2} < s < 1$ であり、固有値の減衰に関する Müntz 条件および境界制御観測可能性の解析に依拠している。

ABSTRACT

We consider the null controllability problem from the exterior for the one dimensional heat equation on the interval $(0,1)$ associated with the fractional Laplace operator $(-\partial_x^2)^s$, where $00$ if and only if $\frac 12

研究の動機と目的

• 1次元非局所熱方程式が、領域 $(-1,1)$ 外部に局在化された制御を用いてゼロに制御可能かどうかを調査すること。
• ゼロ可制御性が達成可能な分数パラメータ $s \in (0,1)$ の正確な範囲を特定すること。
• スペクトル解析を用いて、双対系における観測可能性不等式とゼロ可制御性の同値性を確立すること。
• 従来未解決であった $s \leq 1/2$ の場合に外部制御がゼロ可制御性を達成できるかどうかという未解決問題を解消すること。
• 非局所偏微分方程式の可制御性の理解を拡張し、臨界閾値 $s = 1/2$ を特徴づけること。

提案手法

• 分数ラプラシアン $(-\partial_x^2)^s$ を用いた非局所熱方程式と外部制御の定式化を、特異積分作用素として行う。
• $L^2((0,T);L^2(-1,1))$ 内の弱解を定義し、最終状態の到達可能集合 $\mathcal{R}(u_0,T)$ を導入する。
• 双対性を用いてゼロ可制御性を、非局所法線微分 $\mathcal{N}_s$ を含む双対系における観測可能性不等式に還元する。
• モーメント法を適用し、観測可能性不等式を2つの条件に還元する：(1) $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\lambda_n} < \infty$ および (2) $\|\mathcal{N}_s \varphi_n\|_{L^2(\mathcal{O})} \geq \eta > 0$。
• 固有値 $\lambda_n \sim \left(\frac{n\pi}{2} - \frac{(2-2s)\pi}{8}\right)^{2s}$ の漸近的挙動を $n \to \infty$ として分析する。
• $p$-級数との比較を用いて、$\sum \frac{1}{\lambda_n} < \infty$ が $s > \frac{1}{2}$ のときにかつそのときにのみ成り立つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非局所熱方程式が区間 $(-1,1)$ 上で、外部領域 $\mathcal{O} \subset \mathbb{R} \setminus (-1,1)$ に局在化された制御からゼロ可制御可能となる $s \in (0,1)$ の値は何か？
• RQ2 古典的境界制御が分数ラプラシアンに対して失敗する理由は何か？外部制御はどのようにこの問題を解決するか？
• RQ3 分数ラプラシアンのスペクトル的性質が可制御性を決定づける役割を果たす理由は何か？
• RQ4 閾値 $s = \frac{1}{2}$ がゼロ可制御性に対して鋭いかどうか、また $s \leq \frac{1}{2}$ の場合に何が起こるか？
• RQ5 固有関数の非局所法線微分 $\mathcal{N}_s$ が $L^2(\mathcal{O})$ 上でどのように振る舞うか、そしてその下限の均一有界性がなぜ重要か？

主な発見

• 外部からのゼロ可制御性は $\frac{1}{2} < s < 1$ のときにかつそのときにのみ成立し、$s = \frac{1}{2}$ が鋭い閾値であることを示した。
• $0 < s \leq \frac{1}{2}$ の場合、級数 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\lambda_n}$ は発散し、観測可能性に必要な Müntz 条件を満たさないため、ゼロ可制御性も成立しない。
• 固有値の漸近的挙動 $\lambda_n \sim \left(\frac{n\pi}{2} - \frac{(2-2s)\pi}{8}\right)^{2s}$ から、$\sum \frac{1}{\lambda_n} < \infty$ が $s > \frac{1}{2}$ のときにかつそのときにのみ成り立つことが導かれる。
• すべての $n$ に対して $\|\mathcal{N}_s \varphi_n\|_{L^2(\mathcal{O})} \geq \eta > 0$ が成り立つため、モーメント法における2番目の条件が満たされている。
• 線形性により、ゼロ可制御性は軌道への可制御性と同値であり、到達可能な状態の滑らかさのため、正確な可制御性は成立しない。
• 本結果により、$s > \frac{1}{2}$ のとき、外部制御が可制御性を達成するための必要十分条件であることが確認され、非局所偏微分方程式制御理論における重要な問いが解決された。