[論文レビュー] Null controllability of a population dynamics with interior degeneracy

Idriss Boutaayamou, Younes Echarroudi|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2017

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 15被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、制御領域内に存在する点で拡散係数に内部特異性が生じる人口動態モデルについて、零制御可能性を確立する。著者らは、随伴系に特化した新規のカルレマン推定を用い、観測不等式を導出し、繁殖率の正則性が最小限であっても、任意に小さい時間内での人口の消滅を可能にする。

ABSTRACT

In this paper, we deal with the null controllability of a population dynamics model with an interior degenerate diffusion. To this end, we proved first a new Carleman estimate for the full adjoint system and afterwards we deduce a suitable observability inequality which will be needed to establish the existence of a control acting on a subset of the space which lead the population to extinction in a finite time.

研究の動機と目的

• 制御時間 $ T \geq A $ を要する従来の研究の制限を克服し、長寿命の個体群への実用的応用を可能にする。
• 制御領域 $ \omega $ 内の点 $ x_0 \in \omega $ で拡散係数 $ k(x) $ が消える内部特異性を有する人口動態モデルの零制御可能性を確立する。
• 制御時間 $ T \in (0, \delta) $ においても、$ \delta < A $ である限り、任意に小さい時間内での消滅を達成する。
• 従来の固定点法で要求されていた $ C^2 $ の正則性に代えて、繁殖率 $ \beta $ に対して $ \beta \in L^\infty $ のみを仮定することで、正則性条件を緩和する。
• 非一様分散を示す遺伝子型構造を持つ個体群の制御のための構成的枠組みを提供する。これは、害虫駆除や遺伝的管理に関連する。

提案手法

• 内部特異性が $ x_0 \in \omega $ に存在する場合に適した、非定常人口モデルの随伴系に対する新規カルレマン推定を導出する。
• カルレマン推定を用いて、随伴系の観測不等式を証明し、解のエネルギーと制御領域 $ \omega $ での観測値との関係を確立する。
• 元の系とその随伴系との双対性を用い、零制御可能性問題を観測不等式に還元する。
• 変分的アプローチと弱コンパクト性の議論を用いて、近似解および制御の収束部分列を抽出する。
• カッチォッポリ型不等式（補題 4.1）を用い、カルレマン推定における勾配項を制御する。これは切断関数と重み付きエネルギー推定に依存する。
• 近似解が真の解に収束し、$ y(T, \cdot, \cdot) = 0 $ が $ (\delta, A) \times (0,1) $ 上 almost everywhere で成り立つことを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 内部特異性を有する人口動態モデルについて、任意に小さい時間内に零制御可能性を達成できるか？
• RQ2 拡散係数 $ k(x) $ が制御領域内に存在する点で消える場合に、カルレマン推定をどのように適合させられるか？
• RQ3 特異性のある設定下で、零制御可能性を保証するための繁殖率 $ \beta $ に必要な正則性仮定は何か？
• RQ4 内部特異性と最小制御時間下で、完全な随伴系に対する観測不等式を導出可能か？
• RQ5 拡散特異性の構造 $ k(x) = |x - x_0|^\alpha $ がシステムの制御可能性特性に与える影響は何か？

主な発見

• 著者らは、内部特異性下でも有効である、特異人口モデルの完全な随伴系に対する新規カルレマン推定を証明した。
• 随伴系に対する観測不等式が確立され、これは任意に小さい制御時間での零制御可能性の証明の鍵となる。
• 任意の $ T \in (0, \delta) $ に対して零制御可能性が達成され、$ \delta < A $ であるため、任意に小さい時間内での消滅が可能である。
• 制御 $ \vartheta \in L^2(q) $ が存在し、推定式 $ \|\vartheta\|_{L^2(q)}^2 \leq \frac{4C_\delta}{3} \|y_0\|_{L^2(Q_A)}^2 $ を満たす。これは初期データに一様に依存することを示す。
• システムの解 $ y $ は、$ \|y(T, \cdot, \cdot)\|_{L^2((\delta,A)\times(0,1))}^2 \leq \varepsilon C_\delta \|y_0\|_{L^2(Q_A)}^2 $ を満たし、年齢 $ a > \delta $ における人口の消滅を示唆する。
• 正則性要件を最小限に抑え、特に $ \beta \in L^\infty(Q) $ のみを仮定することで、従来の $ C^2 $ の仮定を改善した。