[論文レビュー] Null-controllability of linear hyperbolic systems in one dimensional space

Jean‐Michel Coron, Hoài-Minh Nguyên|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2019

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 31被引用数 28

ひとこと要約

本稿では、一般の境界条件のもとで、系行列 $C$ に一般性仮定を課さずに、1次元線形双曲型系の零制御可能性を最適時間 $T_{\text{opt}}$ よりも大きい任意の時間 $T > T_{\text{opt}}$ に対して確立する。バックステッピング変換とヒルベルトユニークネス法（HUM）を用いて、$k \geq m \geq 1$ および境界行列 $B$ がその末尾部分行列に対してランク条件を満たす場合、すべての $T > T_{\text{opt}}$ で零制御可能性が成立することを証明する。これは、従来の研究で一般性仮定が必要とされた $C$ や $m = k$ の制限を拡張した結果であり、結果は鋭く、正確な制御可能性へも一般化可能である。

ABSTRACT

This paper is devoted to the controllability of a general linear hyperbolic system in one space dimension using boundary controls on one side. Under precise and generic assumptions on the boundary conditions on the other side, we previously established the optimal time for the null and the exact controllability for this system for a generic source term. In this work, we prove the null-controllability for any time greater than the optimal time and for any source term. Similar results for the exact controllability are also discussed.

研究の動機と目的

• 1次元空間における一般の線形双曲型系の零制御可能性を、片側境界制御のもとで確立すること。
• 従来の研究で必要とされた最適時間における零制御可能性のための行列 $C$ の一般性仮定を除去すること。
• 境界行列 $B$ に明確な構造的条件を課した場合、任意の源項に対して $T > T_{\text{opt}}$ における零制御可能性を拡張すること。
• コンパクト性および特徴的法を用いて、$L^2$-設定における零制御可能性と正確制御可能性の統一的枠組みを提供すること。
• 従来の結果が $m = k$ に限定されたり、特定のフィードバック構造を要請していたのを一般化すること。

提案手法

• 元の系を、ダイナミクスが分解され、コンパクトなカーネルを持つ目的系に変換するバックステッピング変換を適用する。
• ヒルベルトユニークネス法（HUM）を用いて、双対系を解き、双対性により制御を導出する。
• 特徴的法を用いて特異点の伝播を解析し、双対系の解に対する減衰推定を得る。
• 双対系の解作用素に対して有限次元の像性質を確立し、コンパクト性の議論を可能にする。
• 背理法とスペクトル解析を用いて、解作用素の単射性を証明し、制御可能性を保証する。
• 時間反転と双対性を用いて、零制御可能性から正確制御可能性への結果の拡張を図る。これには、最適時間 $T_{\text{opt}}$ の対称性を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 行列 $C$ に一般性仮定を課さずに、すべての $T > T_{\text{opt}}$ で零制御可能性が達成可能か。
• RQ2 $k \geq m$ の場合に、境界行列 $B$ にどのような構造的条件が $T > T_{\text{opt}}$ における零制御可能性を保証するか。
• RQ3 $m < k$ の場合に、最適時間 $T_{\text{opt}}$ が零制御可能性において鋭いかどうか。
• RQ4 零制御可能性の結果を $T > T_{\text{opt}}$ に対して正確制御可能性へ拡張可能か。
• RQ5 バックステッピング法と特徴的法が、$L^2$-設定における制御可能性を保証するためにどのように作用するか。

主な発見

• 行列 $B \in \mathcal{B}$ の場合、ここで $\mathcal{B}$ は、$1 \leq i \leq \min\{k, m-1\}$ に対して $i \times i$ 末尾部分行列が正則である行列の集合であるとすると、任意の $T > T_{\text{opt}}$ で系は零制御可能である。
• 結果は任意の $C \in [L^\infty(0,1)]^{n \times n}$ に対して成立し、従来の研究で必要とされた $C$ の一般性仮定を不要にする。
• $m = k$ の場合、[15]における正確制御可能性結果と同じ $B$ の条件のもとで成立するが、本稿では $m < k$ へ拡張している。
• 最適時間 $T_{\text{opt}}$ は鋭い：$m = 2$, $k \geq 2$ の場合、[11]で示されるように、特定の $\Sigma$, $B$, $C$ の選択に対して $T = T_{\text{opt}}$ では零制御可能でない。
• $T > T_{\text{opt}}$ における正確制御可能性は、時間反転と双対性を用いて、同じ $B$ の条件のもとで確立される。
• 証明はコンパクト性の議論と特徴的法に依拠し、境界がゼロである双対系の唯一の解が自明であることを示す。これにより、解作用素の像が稠密であることが示される。