[論文レビュー] Null Surfaces: Counter-term for the Action Principle and the Characterization of the Gravitational Degrees of Freedom

Krishnamohan Parattu, Sumanta Chakraborty+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 18被引用数 33

ひとこと要約

本稿は、一般相対性理論における光的境界に対する変分原理を、$2 \sqrt{q} (\Theta + \kappa)$ という補正項を導入することで解決する。これにより作用が適切に定義される。光的表面における物理的自由度は、誘導された2次元計量 $q^{ab}$ と光的接線ベクトル $\ell^a$ として特定され、$\ell^a$ は座標の選択により消去可能であることが示され、結果として (1+1+2) 雙重光的パrametrizationにおいて $q^{ab}$ のみが物理的自由度として残る。

ABSTRACT

Constructing a well-posed variational principle and characterizing the appropriate degrees of freedom that need to be fixed at the boundary are non-trivial issues in general relativity. For spacelike and timelike boundaries, one knows that (i) the addition of a counter-term [like the Gibbons-Hawking-York (GHY) counter-term] will make the variational principle well-defined and (ii) the degrees of freedom to be fixed on the boundary are contained in the induced 3-metric. These results, however, do not directly generalize to null boundaries on which the 3-metric becomes degenerate. In this work, we address the following questions: (i) What is the counter-term that needs to be added on a null boundary to make the variational principle well-defined? (ii) How do we characterize the degrees of freedom which need to be fixed at the boundary? We show that the counter-term to be added is $2 \sqrt{q} \left( \Theta+\kappa ight)$ and that the degrees of freedom to be fixed on the surface are in the induced 2-metric on a null surface, $q^{ab}$, and the tangent vector $\ell^a$ to the null congruence on the surface. We also demonstrate that the degrees of freedom in $\ell^a$ can be eliminated by choosing suitable coordinates. This allows one to identify the physical degrees of freedom of the gravitational field with components $q^{ab}$ of the 2-metric in a suitable (1+1+2) double null parametrization of the spacetime. The implications are discussed.

研究の動機と目的

• 境界が光的である場合、誘導された3次元計量が退化するため、一般相対性理論における適切に定義された変分原理が欠如している問題を解決すること。
• 適切な補正項を特定し、光的境界における作用に追加することで、変分原理が適切に定義されるようにすること。
• 3次元計量が退化する状況において、光的境界で固定すべき物理的自由度を同定すること。
• $\ell^a$ に関連する自由度が座標の選択によって除去可能であることを示し、$q^{ab}$ を残りの物理的自由度として分離すること。

提案手法

• 境界条件の下でアインシュタイン＝ヒルベルト作用の変分を分析することにより、光的境界における必要な補正項を導出する。
• 補正項を $2 \sqrt{q} (\Theta + \kappa)$ と特定し、ここで $\Theta$ は拡張、$\kappa$ は光的束の表面重力である。
• 適切に定義された変分原理を実現するための境界条件を分析し、誘導された2次元計量 $q^{ab}$ と光的接線ベクトル $\ell^a$ が固定される必要があることを示す。
• (1+1+2) 雙重光的パラメータ表示を用いて時空の幾何を分解し、物理的自由度を分離する。
• $\ell^a$ の自由度が適切な座標の選択により消去可能であることを示し、物理的自由度を $q^{ab}$ に限定する。
• 提案された補正項を用いた作用が有限であり、$q^{ab}$ を独立な境界データとして、変分原理が適切に定義されることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 光的境界におけるアインシュタイン＝ヒルベルト作用に追加すべき補正項は何か？ これにより変分原理が適切に定義される。
• RQ2 光的境界で適切に定義された変分原理を保証するために固定すべき幾何的量は何か？
• RQ3 光的接線ベクトル $\ell^a$ に関連する自由度はどのようにして除去されたり、物理的でなくなるか？
• RQ4 光的表面で境界データを固定した後に残る自由度の物理的解釈は何か？

主な発見

• 適切に定義された変分原理を実現するための光的境界における必要な補正項は、$2 \sqrt{q} (\Theta + \kappa)$ であり、ここで $\Theta$ は光的束の拡張、$\kappa$ は表面重力である。
• 光的境界における物理的自由度は、誘導された2次元計量 $q^{ab}$ と光的接線ベクトル $\ell^a$ に符号化されている。
• $\ell^a$ の自由度は適切な座標の選択により除去可能であり、物理的でない冗長性が排除される。
• (1+1+2) 雙重光的パラメータ表示において、重力場の物理的自由度は、光的表面における2次元計量 $q^{ab}$ の成分によって完全に記述される。
• 提案された補正項を用いた作用は有限であり、光的境界において適切に定義された変分原理を導く。
• 結果は、光的境界へのギブンズ＝ホーキング＝ヨーク補正項の一般化を提供し、正準重力理論および光的表面における量子重力のための一貫した枠組みを構築する。