[論文レビュー] Null Vectors in Logarithmic Conformal Field Theory

Michael Flohr|ArXiv.org|Sep 18, 2000

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、可換的コンformal場理論（rational CFT）におけるゼロベクトルの概念を、非可換的コンformal場理論（LCFT）に一般化する。ここで、ジョルダン細胞を持つ非分解的表現が、既約表現に置き換わる。相関関数が対数的ゼロベクトルによって非同次微分方程式を満たすことが示され、LCFTにおける高次相関関数の体系的計算が、これらの非同次方程式の再帰的解法によって可能になる。

ABSTRACT

The representation theory of the Virasoro algebra in the case of a logarithmic conformal field theory is considered. Here, indecomposable representations have to be taken into account, which has many interesting consequences. We study the generalization of null vectors towards the case of indecomposable representation modules and, in particular, how such logarithmic null vectors can be used to derive differential equations for correlation functions. We show that differential equations for correlation functions with logarithmic fields become inhomogeneous.

研究の動機と目的

• 可換的CFTにおけるゼロベクトル形式の一般化を、非分解的表現とジョルダン細胞が本質的であるLCFTに拡張すること。
• Virasoro代数のランク2ジョルダン細胞の文脈において、対数的ゼロベクトルがどのように生じるかを理解すること。
• LCFTにおける相関関数の微分方程式を導出し、対数的構造によって非同次になることを示すこと。
• 対数的場の数を減らした低次の共形ブロックに還元することで、n点関数を再帰的に計算する枠組みを確立すること。
• 標準的なBPZ融合規則のアプローチが、対数的場を含む非ゼロOPEのため、LCFTでは修正されなければならないことを示すこと。

提案手法

• Virasoro代数の作用を、非対角的（ジョルダン細胞）表現を含むように一般化し、$ L_0 |h;1\rangle = h|h;1\rangle + |h;0\rangle $ および $ L_0 |h;0\rangle = h|h;0\rangle $ となるようにする。
• 対数的場の共形写像における変換則を導出する：$ \phi_h(z) = \left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)^h \left(1 + \log(\partial_z f) \delta_h\right) \phi_h(f(z)) $ であり、これはその非プライマリ性を反映している。
• Virasoroモードのウォード恒等式を用いて、相関関数に作用する微分作用素を導出し、非対角的作用 $ \delta_h \Psi_h = \Phi_h $ を組み込む。
• 対数的場 $ \Psi_h $ のレベル2ゼロ次生成を構成し、$ [L_{-n}, \Psi_h(z)] = z^n \left( (n+1)h + z\partial \right) \Psi_h(z) $ を通じて、スピン $ h+2 $ のプライマリ場が生成されることを示す。
• 2つの対数的場のOPEを分析し、$ \Psi_h \times \Psi_h $ が、恒等演算子の対数的パートナー $ \tilde{\mathbb{I}} $ を生成することを示し、これによりOPEに対数的項が生じることを示す。
• LCFTにおけるn点関数の階層が再帰的に解かれることが示され、その非同次微分方程式の非同次項は、対数的場の数を減らした相関関数の共形ブロックから生じる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非分解的表現を伴うLCFTにおけるゼロベクトルは、どのように一般化されるか？
• RQ2 LCFTにおける対数的場を含む相関関数を支配する微分方程式は何か？
• RQ3 なぜLCFTにおける相関関数は、可換的CFTとは異なり、非同次微分方程式になるのか？
• RQ4 LCFTにおける対数的場のOPEは、プライマリ場のOPEとどのように異なるか？
• RQ5 標準的なBPZ融合規則のアプローチをLCFTに拡張できるか？もしそうなら、融合規則はどのように変更されるか？

主な発見

• 対数的場を含むLCFTにおける相関関数は、対数的ゼロベクトルの存在により、非同次微分方程式を満たす。
• 微分方程式の非同次項は、対数的場の数を減らした相関関数の共形ブロックから生じ、再帰的解法スキームを可能にする。
• 対数的場 $ \Psi_h $ のレベル2ゼロ次生成は、スピン $ h+2 $ の最高重層状態に比例する状態を生成する。これは、隠れたプライマリ構造を示唆している。
• 2つの対数的場 $ \Psi_h \times \Psi_h $ のOPEには、対数的恒等演算子 $ \tilde{\mathbb{I}} $ が含まれ、$ \tilde{\mathbb{I}}(z)\tilde{\mathbb{I}}(w) \sim -2\log(z-w)\tilde{\mathbb{I}}(w) $ を通じて対数的項が生成される。
• LCFTにおけるVirasoro代数の表現理論はジョルダン細胞を要し、これにより対数的パートナー間の2点関数は非ゼロで、プライマリ場間の2点関数はゼロになる。
• 2つの反交換スカラー場を用いた $ c = -2 $ LCFT の構成により、ゼロモードが対数的項を生成する役割を果たすことが確認され、$ \tilde{\mathbb{I}}(z) = -\frac{1}{2}\epsilon_{\alpha\beta} :\theta^\alpha\theta^\beta: (z) $ となる。