[論文レビュー] Nullspaces of Conformally Invariant Operators. Applications to $Q_{k}$-curvature

Yaiza Canzani, A. Rod Gover+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、GJMS作用素の核空間から生じる共形不変量、特にノード集合と固有関数の位相的不変量を調査する。任意の次元 $ n \geq 3 $ のコンパクトなリーマン多様体において、これらの不変量が非自明となる計量が存在することを示し、$ Q_k $-曲率の規定問題に応用する。その結果、非自明な核空間の存在が、与えられた共形類における可能ないくつかの $ Q_k $-曲率の集合に強い制約を課することを示した。

ABSTRACT

We study conformal invariants that arise from functions in the nullspace of conformally covariant differential operators. The invariants include nodal sets and the topology of nodal domains of eigenfunctions in the kernel of GJMS operators. We establish that on any manifold of dimension $n\geq 3$, there exist many metrics for which our invariants are nontrivial. We discuss new applications to curvature prescription problems.

研究の動機と目的

• 共形不変微分作用素、特にGJMS作用素の核空間から生じる共形不変量を特定・特徴付けること。
• 任意の次元 $ n \geq 3 $ のコンパクトなリーマン多様体に対して、その作用素 $ P_{k,g} $ の核空間不変量が非自明となる計量が存在することを示すこと。
• これらの不変量を曲率規定問題、特に $ Q_k $-曲率に応用すること。
• 与えられた共形類における $ Q_k $-曲率として得られる関数の集合にかかる制約を確立すること。
• コンパクトなヘイゼンベルク多様体上のヤマベとパネイツ作用素のスペクトル的性質を分析し、主な結果を裏付けること。

提案手法

• 主項が $ \Delta_g^k $ である共形的共変微分作用素であるGJMS作用素 $ P_{k,g} $ を用いる。これらは formally self-adjoint である。
• 核固有関数（核固有ベクトル）を、重み $ -\frac{n}{2} + k $ の共形密度として分析し、そのノード集合とノード領域が共形不変量であることを示す。
• 変換法則 $ P_{k,e^{2\Upsilon}g} = e^{-(\frac{n}{2}+k)\Upsilon} P_{k,g} e^{(\frac{n}{2}-k)\Upsilon} $ を用いて、共形変換下でのノード構造の不変性を示す。
• 定義 $ Q_{k,g} = \frac{2}{n-2k} P_{k,g}(1) $（$ k \neq \frac{n}{2} $ の場合）を用い、$ Q_k $-曲率と $ P_{k,g} $ が定数関数 1 に作用する様子を結びつける。
• ヘイゼンベルク群の表現論を用いて、コンパクトなヘイゼンベルク多様体上のスペクトル解析を行い、$ P_{1,g_s} $ および $ P_{2,g_s} $ の固有値と核空間を計算する。
• ヤマベ作用素の核空間関数を明示的に記述するために、ヤコビのシータ関数 $ \vartheta(z,\tau) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} e^{i\pi k^2 \tau} e^{2i\pi k z} $ を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン多様体上でのGJMS作用素 $ P_{k,g} $ の核空間から生じる共形不変量は何か？
• RQ2 任意の次元 $ n \geq 3 $ のコンパクト多様体に対して、$ P_{k,g} $ の核空間不変量が非自明となる計量が存在するか？
• RQ3 $ P_{k,g} $ の核空間は、与えられた共形類における可能ないくつかの $ Q_k $-曲率の集合にどのような制約を課えるか？
• RQ4 コンパクトなヘイゼンベルク多様体上でのヤマベ作用素およびパネイツ作用素のスペクトル的性質は、非自明な核空間不変量を持つ計量を構成するためにどのように利用できるか？
• RQ5 $ P_{k,g} $ の非自明な核空間の存在は、特定の関数が $ Q_k $-曲率として取り得ないことを示すために利用できるか？

主な発見

• 任意の次元 $ n \geq 3 $ のコンパクトなリーマン多様体において、定理 3.1 で示されるように、$ P_{k,g} $ の核空間不変量が非自明となる計量が存在する。
• コンパクトなヘイゼンベルク多様体上でのヤマベ作用素 $ P_{1,g_s} $ に対して、十分大きな $ s $ に対して負の固有値の個数は $ c(d)s^{2d+1} $ 以上である。ここで $ c(d) $ は次元 $ d $ のみに依存する。
• ヤマベ作用素 $ P_{1,g_s} $ の核空間は、特定の $ s $ の条件下で、関数 $ u_{\pm}(x,y,t) = e^{\pm 2i\pi t} e^{\mp \pi s |x|^2} \prod_{1 \leq j \leq d} \vartheta(y_j \pm i s x_j, i s) $ によって張られる。
• 関数 $ u_{\pm} $ のノード集合は、$ \bigcup_{1 \leq j \leq d} \left\{ (x,y,t) \in M \mid x_j = y_j = \frac{1}{2} \right\} $ であり、これは共形不変量である。
• $ d = 1,2,3 $ の場合、$ s \to \infty $ のとき、パネイツ作用素 $ P_{2,g_s} $ の負の固有値の個数は無限大に発散する。これは、スペクトルの複雑さが増すことを示している。
• $ \ker P_{k,g} $ が非自明であるならば、$ \mathcal{R}(Q_k) $、すなわち $ Q_k $-曲率として実現可能な関数の集合は、$ C^\infty(M) $ の無限次元非線形部分空間と交わらない。これは、すべての $ u \in \ker P_{k,g} \setminus \{0\} $ に対して $ \int_M u(x) v(x) dV_{\hat{g}}(x) = 0 $ が成り立つ積分制約による。