[論文レビュー] Number of bounded distance equivalence classes in hulls of repetitive Delone sets

Dirk Frettlöh, Alexey Garber+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2021

Quasicrystal Structures and Properties参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、有限局所的複雑性（FLC）とwell-definedな密度を有するℝᵈにおける繰り返し的デローネ集合のホイールが、正確に1つの有界距離同値（bde）類を含むか、非可算無限個（2ℵ₀）を含むことを確立する。証明は、相反する不一致を示すネストされた変則的パッチを用いて、非可算無限個の異なるbde類を構成する。反復性とヴァン・ホーヴェ列を用いることで、bdeのもとで類が区別されることを保証する。この結果は、置換タイリングやカットアンドプロジェクション集合に関する先行研究を一般化する。

ABSTRACT

Two Delone sets are bounded distance equivalent to each other if there is a bijection between them such that the distance of corresponding points is uniformly bounded. Bounded distance equivalence is an equivalence relation. We show that the hull of a repetitive Delone set with finite local complexity has either one equivalence class or uncountably many. A very similar result is proven in arXiv:2011.00106 [math.MG].

研究の動機と目的

• 繰り返し的デローネ集合のホイールにおける有界距離同値（bde）類の数を特定すること。
• このようなホイールが1つのbde類のみを含むか、非可算無限個を含むかを解明すること、特に准周期的順序および力学系の文脈において。
• 置換タイリングやカットアンドプロジェクション集合に関する先行結果を、より広範なデローネ集合のクラスに一般化すること。
• 二分法の確立：bde類の数は1つまたは正確に2ℵ₀（連続体の濃度）のいずれかである。

提案手法

• 目標密度に対して制御された不一致を示す領域の反復的選択を用いて、デローネ集合内のネストされたパッチ列（Pi）を構築する。
• 反復性を用いて、各パッチが増大する半径内に以前のパッチの平行移動を含むことを保証する。
• 2種類の領域を定義する：D′ᵢ（点が豊富な領域）およびN′ᵢ（点が乏しい領域）、これらは密度に対して相反する不一致を示す。
• 補題3.7を適用して、移動距離がℓᵢ₊₁以内の範囲でci₊₁-変則的（不一致が0から離れている）領域D′ᵢ₊₁およびN′ᵢ₊₁を特定する。
• 補題3.2を用いて、N′ᵢ₊₁がD′ᵢ₊₁と逆の不一致の符号を持つことを保証し、反復の間で区別が保たれることを確保する。
• 無限語u ∈ {D, N}^ℕごとに、一貫したサポートと不一致を持つパッチPiを接合してデローヌ集合Λᵤを構成する。これにより、定理2.2によりbdeのもとで類が区別されることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 繰り返し的デローネ集合のホイールに、有界距離同値（bde）類がいくつ存在しうるか？
• RQ2 このようなデローヌ集合のホイールが1つのbde類のみを含むか、それとも非可算無限個を含む必要があるか？
• RQ3 well-definedな密度の存在が、bde類の数における二分法を許容する条件は何か？
• RQ4 非可算無限個のbde類の構成は、グローバルな密度が存在しない場合にも拡張可能か？

主な発見

• 有限局所的複雑性（FLC）とwell-definedな密度を有する繰り返し的デローネ集合のホイールは、正確に1つの有界距離同値（bde）類を含むか、非可算無限個（2ℵ₀）を含む。
• bde類が1つより多い場合、2ℵ₀個の異なるデローヌ集合Λᵤが無限語{D, N}^ℕを用いて構成可能であるため、bde類の数は正確に2ℵ₀である。
• 各構成されたデローヌ集合ΛᵤはホイールXΛに属し、無限に多くの位置で異なるΛᵤ（Λᵤ′と区別される）は、平行移動による不一致の偏りが持続するため、bde同値ではない。
• 証明は、支持サイズが増大し、不一致が制御されたヴァン・ホーヴェ列のパッチの存在に依存しており、これにより、異なるΛᵤとΛᵤ′の間で一様有界な移動距離の双対写像が存在しないことを保証する。
• 全体の密度が仮定されていなくても、中間密度̺ ∈ (̺⁻, ̺⁺)を用いて豊富な領域と乏しい領域を定義することで、二分法が保たれることを示す。
• XΛにおけるbde類の濃度は2ℵ₀を超えることはなく、XΛの要素は平行移動で同一視すると2ℵ₀個しか存在しないため、上界はタイトである。