[論文レビュー] Number of eigenvalues for a class of non-selfadjoint Schrödinger operators

Xue Ping Wang|ArXiv.org|Feb 5, 2009

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 27被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、$ \mathbb{R}^n $（$ n \geq 2 $）上の非自己共役シュレーディンガー作用素 $ H = -\Delta + V(x) $ に対して、複素数値ポテンシャル $ V = V_1 - iV_2 $ が衰減性および正則性条件を満たす場合、固有値の有限性を確立する。$ \Im V \leq 0 $、$ \Im V \neq 0 $、かつ $ \Re V $ がゼロ共振をもたないとき、$ H $ の固有値の個数は、$ -\Delta + \Re V $ の固有値の個数に、自己共役作用素 $ -\Delta + \Re V $ のゼロ共振の重複度を加えたものに等しい。

ABSTRACT

In this article, we prove the finiteness of the number of eigenvalues for a class of Schrödinger operators $H = -Δ+ V(x)$ with a complex-valued potential $V(x)$ on $\bR^n$, $n \ge 2$. If $\Im V$ is sufficiently small, $\Im V \le 0$ and $\Im V eq 0$, we show that $N(V) = N(\Re V)+ k$, where $k$ is the multiplicity of the zero resonance of the selfadjoint operator $-Δ+ \Re V$ and $N(W)$ the number of eigenvalues of $-Δ+ W$, counted according to their algebraic multiplicity.

研究の動機と目的

• 非自己共役シュレーディンガー作用素 $ H = -\Delta + V(x) $ が $ \mathbb{R}^n $（$ n \geq 2 $）上で複素数値ポテンシャルをもつ場合の固有値の有限性を確立すること。
• 小規模な散乱的虚部 $ -iV_2 $（$ V_2 \geq 0 $、$ V_2 \neq 0 $）が、自己共役作用素 $ -\Delta + V_1 $ の固有値構造に与える影響を分析すること。
• 固有値の個数と $ -\Delta + \Re V $ のスペクトル的性質、特にゼロ共鳴の重複度との間の明確な関係を特定すること。
• 与えられた条件下で、固有値が任意の非負の実数に集積しないことを証明すること、特に $ \Im V \leq 0 $ かつ $ \Im V \neq 0 $ の場合に注目する。

提案手法

• 解析的フレドホルムの定理およびウェイルの本質的スペクトル定理を用いて、$ H $ のスペクトルが $ \mathbb{C} \setminus [0, \infty) $ において離散的であり、孤立した固有値で構成され、代数的重複度が有限であることを示す。
• $ V_j \in L^p_{\text{loc}}(\mathbb{R}^n) $ を満たすものと仮定し、$ n \geq 3 $ では $ p = n/2 $、$ n = 2 $ では $ p > 1 $、$ n = 1 $ では $ p = 2 $ とすることで、シュレーディンガー作用素における一意的拡張性の性質を保証する。
• ラプラシアンの球座標におけるスペクトル分解から得られる $ R_0(z) = (P_0 - z)^{-1} $ のリソルベントの漸近的展開を用いて、$ Hu = 0 $ の解の振る舞いを分析する。
• ベッセル関数および関連するルジャンドル型多項式 $ P_{\nu,k}(\rho) $ を用いた自由リソルベントの展開を用い、ガンマ関数および $ e^{-i\pi\nu} $ を含む位相因子から得られる係数を用いて、共鳴状態およびゼロエネルギーにおける正則性を特徴付ける。
• 作用素 $ H $ におけるゼロ点での正則点の概念を導入し、$ Hu = 0 $ を満たす $ u \in H^{1,-s} $ が自明であることで定義される。散乱的ポテンシャルがゼロが正則点であることを保証することを示す。
• 特に、球面 $ \mathbf{S}^{n-1} $ 上のラプラシアン＝ベルトラミ作用素による角モードへのリソルベントの分解を用いた、錐多様体上のシュレーディンガー作用素のスペクトル理論に依拠し、$ (Q_\nu - z)^{-1} $ の核表現におけるベッセル関数の使用を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素ポテンシャル $ V $ の実部および虚部にどのような条件を課すと、非自己共役シュレーディンガー作用素 $ H = -\Delta + V $ が有限個の固有値しかも持たないか？
• RQ2 小規模な散乱的虚部 $ -iV_2 $（$ V_2 \geq 0 $、$ V_2 \neq 0 $）を加えると、自己共役作用素 $ -\Delta + V_1 $ の固有値数にどのような影響を与えるか？
• RQ3 $ H $ の固有値が非負の実数に集積しうるか？また、$ V_1 $ および $ V_2 $ にどのような衰えと正則性条件を課すと、このような集積が排除されるか？
• RQ4 $ H $ の固有値の個数と、自己共役作用素 $ -\Delta + \Re V $ のゼロ共鳴の重複度との間の明確な関係は何か？
• RQ5 特に対数的およびべき乗的特異性を示す $ z = 0 $ 近傍でのリソルベント $ R_0(z) $ の振る舞いは、ゼロエネルギーにおける $ H $ のスペクトル的性質をどのように決定するか？

主な発見

• $ n \geq 2 $ に対して、$ V_1 $ および $ V_2 $ が $ |V_j(x)| \leq C\langle x \rangle^{-\rho_j} $ を満たし、$ \rho_1' > 2 $、$ \rho_2 > 2 $、かつ $ \Re V $ が角条件 $ \mu_1 > -(n-2)^2/4 $ を満たすならば、$ H = -\Delta + V_1 - iV_2 $ の固有値の個数は有限である。
• $ \Im V \leq 0 $、$ \Im V \neq 0 $、かつ $ H $ のゼロが正則点であるとき、$ H $ の固有値の個数は $ N(V) = N(\Re V) + k $ で与えられ、ここで $ k $ は $ -\Delta + \Re V $ のゼロ共鳴の重複度である。
• ポテンシャルが条件 (1.1) を満たす限り、$ H $ の固有値は任意の正の実数 $ E > 0 $ に集積しない。
• 散乱的ポテンシャル（$ \Im V \geq 0 $、$ \Im V \neq 0 $）の下では、自己共役作用素 $ -\Delta + \Re V $ のゼロ共鳴は $ H $ の複素固有値に移行し、その重複度は総固有値数に直接寄与する。
• 自由リソルベント $ R_0(z) $ の $ z = 0 $ 近傍における漸近的展開は、対数的およびべき乗的項 $ z^j $、$ z_\nu $、および射影 $ \pi_\nu $ を含み、ゼロエネルギーにおけるスペクトル的挙動を正確に特徴付ける。この展開は、有限性の証明に不可欠である。
• リソルベント展開の係数は、ベッセル関数、ガンマ関数、およびルジャンドル型多項式 $ P_{\nu,k}(\rho) $ を用いて明示的に計算され、先行研究（[25]）における符号エラーの修正を含むため、スペクトル解析の正確性が保証される。