[論文レビュー] Number of Nambu-Goldstone bosons and partially symplectic geometry of coset space

Haruki Watanabe, Hitoshi Murayama|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2012

Advanced Topics in Algebra被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、有効ラグランジアンを用いて、ローレンツ不変でない系におけるナンヌー＝ゴールドストン粒子の数を数える一般枠組みを構築する。破れた生成子が正準的に共役なペアを形成する場合——非ゼロの交換子期待値に起因する——、NG粒子の数が減少することを示し、コセット空間幾何が部分的にシンプレクティックであることを確立する。特に、中心拡張を伴う非半単純代数において顕著である。

ABSTRACT

Using the effective Lagrangian approach, we clarify general issues about Nambu-Goldstone bosons without Lorentz invariance. We show how to count their number and study their dispersion relations. Their number is less than the number of broken generators when some of them form canonically conjugate pairs. The pairing occurs when the generators have a nonzero expectation value of their commutator. For non-semi-simple algebras, central extensions are possible. The underlying geometry of the coset space in general is partially symplectic.

研究の動機と目的

• ローレンツ不変性が欠如する状況におけるナンヌー＝ゴールドストン粒子の数え方に関する曖昧さを解消すること。
• 破れた生成子の正準的共役ペアがNG粒子の数をどのように減少させるかを明確化すること。
• スピンで自発的対称性が破れた系におけるコセット空間の幾何的構造を調査すること。
• 中心拡張を伴う非半単純リー代数へのNG粒子数え方の理解を拡張すること。
• 破れた生成子の代数的構造とコセット空間の部分的シンプレクティック幾何との関係を確立すること。

提案手法

• 自発的対称性の低エネルギー力学を記述するために有効ラグランジアン法を用いる。
• 破れた生成子の交換子期待値を分析し、正準的共役ペアを特定する。
• ローレンツ不変性が成り立たない状況において、有効ラグランジアンからNG粒子の分散関係を導出する。
• 追加の保存量を記述するために、非半単純リー代数に中心拡張を導入する。
• 共役ペアが存在する場合、コセット空間幾何を部分的にシンプレクティックであると特徴付ける。
• リー代数の構造とその交換関係を用いて、物理的自由度を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ローレンツ不変性の欠如が、ナンヌー＝ゴールドストン粒子の数え方にどのように影響するか？
• RQ2 破れた生成子がいつ正準的共役ペアを形成するのか。その場合、NG粒子の数がどのように減少するのか？
• RQ3 非ゼロの交換子期待値が共役ペアの出現に果たす役割は何か？
• RQ4 非半単純リー代数における中心拡張が、NG粒子スペクトルにどのように影響するか？
• RQ5 NG粒子が部分的にペアリングされる場合、コセット空間の背後にある幾何的構造は何か？

主な発見

• 破れた生成子が正準的共役ペアを形成する場合、NG粒子の数が減少する。これは、その生成子の交換子の真空期待値が非ゼロである場合に生じる。
• 有効ラグランジアン法を用いることで、ローレンツ不変性がなくても一貫した分散関係の導出が可能である。
• 非半単純リー代数では、中心拡張が出現し得る。これにより、コセット空間の構造とNG粒子スペクトルが変更される。
• 共役ペアの生成子が存在する場合、コセット空間の幾何は完全にシンプレクティックではなく、部分的にシンプレクティックである。
• NG粒子数の減少は、有効理論における非退化したポアソン括弧の存在と直接関連している。
• この枠組みは、ローレンツ不変でない、および非半単純な対称性代数への標準的NG粒子数え方のルールを一般化する。