[論文レビュー] Number theory and dynamical systems on foliated spaces

Christopher Deninger|ArXiv.org|Apr 10, 2002

Advanced Algebra and Geometry参考文献 13被引用数 34

ひとこと要約

本稿は、葉層付き空間と葉方向コホモロジーを用いて、数論的ゼータ関数を理解するための力学系枠組みを提案する。1次元余次元の葉層構造に対して、力学的リーマン・トレース公式を確立し、周期軌道と解析的数論における明示公式を結びつける。コンformal幾何を有する非コンパクトかつ無限次元の位相空間上に構成された流れを用いて、楕円曲線のゼータ関数に対するリーマン予想の力学的証明を提示する。

ABSTRACT

We discuss analogies between number theory and the theory of dynamical systems on spaces with a one-codimensional foliation. The emphasis is on comparing the "explicit formulas" of analytic number theory with certain dynamical Lefschetz trace formulas. We also point out a possible relation between an Arakelov-Euler characteristic and an Euler characteristic in the sense of Connes. Finally the role of generalized solenoids as phase spaces in our picture is explained.

研究の動機と目的

• 葉層付き多様体と葉方向コホモロジーを用いて、数論的ゼータ関数の力学的解釈を構築すること。
• 多様体を超えたより一般の位相空間へ、力学的リーマン・トレース公式を数論的類似性にインspiredして一般化すること。
• 力学的トレース公式と解析的数論における明示公式との間の関係を確立すること。
• 特徴標数 $p$ の普通の楕円曲線のゼータ関数に対するリーマン予想を、非コンパクトかつ無限次元の空間上に構成された流れを用いて力学的に証明すること。
• 本力学的アプローチとアラン・コンヌの非可換幾何的枠組みによるL関数のLanglands型対応の可能性を検討すること。

提案手法

• 本稿は、虚二次体の整数環における素元 $\nu$ を用い、複素楕円曲線とその $\nu$-進テート加群から、位相空間 $X = ({\bb C} \times_/Gamma T_\nu \tilde{\nu}) \times_\bar{\nu} \bb R$ を構成する。
• ${\bb C}$-因子上の $\nu^t$ による乗法と $\bb R$-因子上の平行移動によって誘導される流れ $\rho^t$ を $X$ 上に定義し、葉層構造と整合的であるようにする。
• 減少葉方向コホモロジー $\bar{H}^1_{\tilde{\nu}}(X)$ 上の引き戻し作用の無限小生成子 $\theta$ が $\theta = \frac{1}{2} + S$ を満たし、$S$ が反対称であることから、リーマン予想と整合するスペクトル性質が得られることを示す。
• 力学的リーマン・トレース公式を用いて、コホモロジー上の流れのトレースを計算し、これはゼータ関数 $\tilde{\nu}(s)$ の明示公式の右辺と一致する。
• 葉層構造上の計量を $\rho = 1$ のときの等角性条件を満たすように選ぶことで、力学的設定におけるトレース公式の有効性を保証する。
• 任意の $\bb Z$ 上の代数的スキームに対して、$\mathrm{GL}_\infty$ を用いた散逸的力学系を提案し、有限次元のグローバルアトラクタを望ましい位相空間として一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 解析的数論における明示公式は、葉層付き空間上の力学的リーマン・トレース公式として解釈可能か？
• RQ2 特徴標数 $p$ の楕円曲線のゼータ関数に対するリーマン予想は、葉層付き多様体上の力学系のスペクトル性質を用いてどのように証明可能か？
• RQ3 モチーフ的L関数の力学的解釈を実現する正しい無限次元位相空間と流れは何か？
• RQ4 葉層付き空間のための力学的トレース公式は、コンヌのゼータ関数に対する非可換幾何的アプローチとどのように関係するか？
• RQ5 コンヌのオイラー特性 $\chi_{\mathrm{Co}}(\tilde{\nu}\tilde{\nu}, \mu)$ は、力学的不変量と算術的不変量を結ぶ際に果たす役割は何か？

主な発見

• 構成された流れ $X$ 上の力学的リーマン・トレース公式は、特徴標数 $p$ の普通の楕円曲線のゼータ関数の明示公式と一致し、力学と算術との直接的な関係を確立する。
• コホモロジー $\bar{H}^1_{\tilde{\nu}}(X)$ 上の流れの無限小生成子 $\theta$ は $\theta = \frac{1}{2} + S$ を満たし、$S$ が反対称であることから、すべての固有値が臨界線 $\mathrm{Re}(s) = \frac{1}{2}$ 上にあることが示され、$\zeta_E(s)$ に対するリーマン予想の力学的証明が得られる。
• コンヌのオイラー特性 $\chi_{\mathrm{Co}}(\tilde{\nu}\tilde{\nu}, \mu)$ は $\chi(M) \cdot l$ に等しく、$l = \log p$ である。これにより、位相的および算術的不変量が結びつけられる。
• 位相空間 $X$ が $({\bb C} \times_\Gamma T_\pi \Gamma) \times_{p^\bb Z} \bb R^*_+$ に同型であることが示され、$p^\nu$ が $\pi^\nu$ による対角的乗法で作用するより自然な力学系の形をとることが分かる。
• 計量 $g_{[z,y,t]}(\xi,\eta) = e^t \mathrm{Re}(\xi \bar{\eta})$ は $\alpha = 1$ のときの等角性条件 (9) を満たし、トレース公式の有効性を保証する。
• 任意の $\bb Z$ 上のスキームへ一般化するにあたり、$\mathrm{GL}_\infty$ に関連する空間上の散逸的力学系を提案し、有限次元のグローバルアトラクタを最終理論の望ましい位相空間として得る。