[論文レビュー] Numbers with integer expansion in the numeration system with negative base

Petr Ambrož, Daniel Dombek+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、伊藤と佐々居が導入した負の基数記数法における整数展開の構造を調査する。整数の集合 ℤ₋ᵦ を特徴づけ、連続する要素間の距離を導出し、ℤ₋ᵦ の自己相似性に起因する自己相似性を持つ無限語 v₋ᵦ を構成する。主な貢献は、自己相似性に基づく自己写像不変な無限語の構成と、立方体のピサノ基数における (−β)-整数と β-整数から生成されるラウツィー・フラクタルの比較であり、幾何学的および組合的性質において類似点と根本的な相違点を明らかにする。

ABSTRACT

In this paper, we study representations of real numbers in the positional numeration system with negative basis, as introduced by Ito and Sadahiro. We focus on the set $\Z_{-β}$ of numbers whose representation uses only non-negative powers of $-β$, the so-called $(-β)$-integers. We describe the distances between consecutive elements of $\Z_{-β}$. In case that this set is non-trivial we associate to $β$ an infinite word $\boldsymbol{v}_{-β}$ over an (in general infinite) alphabet. The self-similarity of $\Z_{-β}$, i.e., the property $-β\Z_{-β}\subset \Z_{-β}$, allows us to find a morphism under which $\boldsymbol{v}_{-β}$ is invariant. On the example of two cubic irrational bases $β$ we demonstrate the difference between Rauzy fractals generated by $(-β)$-integers and by $β$-integers.

研究の動機と目的

• 定義：(−β)-整数の集合 ℤ₋ᵦ を、−β の非負の整数乗のみを用いた展開を持つ実数として特徴づける。
• 決定：ℤ₋ᵦ の連続する要素間の距離を特定し、集合が非自明であるための条件を確立する。
• 関連付ける：集合が非自明である場合、自己相似性を活用して、無限アルファベット上での無限語 v₋ᵦ を ℤ₋ᵦ に関連付ける。
• 構成：自己相似性 −βℤ₋ᵦ ⊆ ℤ₋ᵦ を用いて、v₋ᵦ が不変となる自己写像を構成する。
• 比較：特定の立方体ピサノ基数 β に対して、(−β)-整数と β-整数から生成されるラウツィー・フラクタルを比較し、構造的相違点を強調する。

提案手法

• 定義：−β < −1 である負の基数 −β に対して、レニの β-展開に類似した貪欲アルゴリズムを用いて実数の (−β)-展開を定義する。
• 変換 T₋ᵦ を用いて桁列を生成し、ℤ₋ᵦ を −β の非負の整数乗のみを含む (−β)-展開を持つ実数の集合として定義する。
• 1 のレニ展開を −β で行い、桁列の代替順序を用いて ℤ₋ᵦ の連続する要素間の距離を特徴づける。
• 連続する (−β)-整数間の距離の列を符号化することで、無限アルファベット上に無限語 v₋ᵦ を構成する。
• 自己相似性 −βℤ₋ᵦ ⊆ ℤ₋ᵦ を活用し、v₋ᵦ が不変となる自己写像を導出する。
• Sofic (−β)-シフトの場合、v₋ᵦ を有限アルファベットに射影して、原始的自己写像に関して不変な無限語 u₋ᵦ を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの基数 −β に対して (−β)-整数の集合 ℤ₋ᵦ が非自明となるか？
• RQ2 ℤ₋ᵦ の連続する要素間の距離は何か？ そして、古典的 β-整数のそれと比べてどうなるか？
• RQ3 ℤ₋ᵦ の自己相似性をどのように用いて、関連する無限語 v₋ᵦ が不変となる自己写像を構成できるか？
• RQ4 同じ立方体ピサノ基数 β に対して、(−β)-整数と β-整数から生成されるラウツィー・フラクタルはどのように比較できるか？
• RQ5 (−β)-シフトが sofic システムを生成する条件は何か？ そして、これにより関連する無限語 u₋ᵦ の構造にどのような影響を与えるか？

主な発見

• 集合 ℤ₋ᵦ は、1 のレニ展開が −β で純粋周期的で周期 1 でない場合に限り非自明であり、蓄積点を含まない。
• Tribonacci 基数 β ≈ 1.839 に対して、連続する (−β)-整数間の距離は Δ₀⁻ = 1、Δ₁⁻ = β − 1、Δ₂⁻ = 1/β であり、古典的 β-整数のそれと一致する。
• x³ − 2x² − x + 1 = 0 を満たす β に対して、ℤ₋ᵦ の距離は Δ₀⁻ = 1、Δ₁⁻ = β − 1、Δ₂⁻ = 1 − 1/β であり、ℤᵦ における Δ₁⁺ = β − 2 とは顕著に異なる。
• ℤ₋ᵦ に関連する無限語 u₋ᵦ は、自己写像 φ²：0 ↦ 02101、1 ↦ 021101、2 ↦ 021 に関して不変であり、uᵦ を生成する自己写像とは異なる。
• Tribonacci 基数では、φ² と φᵦ² が共役であるため、ℤ₋ᵦ と ℤᵦ のラウツィー・フラクタルは平行移動を除いて一致する。
• 最小多項式 x³ − 2x² − x + 1 を持つ基数 β に対して、ℤ₋ᵦ と ℤᵦ のラウツィー・フラクタルは幾何学的に異なる。これは、異なる距離構造と自己写像ダイナミクスを反映している。