[論文レビュー] Numerical Algorithm for Exact Finite Temperature Spectra and Its Application to Frustrated Quantum Spin Systems

Youhei Yamaji, Takafumi Suzuki+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2018

Advanced Condensed Matter Physics被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、典型性とシフトされたクリロフ部分空間を組み合わせることで、有限温度におけるスペクトル関数を正確に計算する数値的に効率的なアルゴリズム、有限温度シフトクリロフ部分空間法（FTKω）を提案する。この手法により、Kitaev-Heisenbergモデルのようなフラストレーションを示す量子スピン系において、従来の標準的アンサンブル平均法で到達可能なスピン系サイズの2倍のサイズで、ダイナミカルスピン構造因子を正確に計算可能となり、Kitaevスピン液体エネルギースケールを超えてスピン液体連続体からギャップを持つ磁気モードへのクロスオーバーが明らかになった。

ABSTRACT

A numerical algorithm to calculate exact finite-temperature spectra of many-body lattice Hamiltonians is formulated by combining the typicality approach and the shifted Krylov subspace method. The combined algorithm, which we name finite-temperature shifted Krylov subspace method for simulating spectra (FTK$ω$), efficiently reproduces the canonical-ensemble probability distribution at finite temperatures with the computational cost proportional to the Fock space dimension. The present FTK$ω$ enables us to exactly calculate finite-temperature spectra of many-body systems whose system sizes are twice larger than those handled by the canonical ensemble average and allows us to access the frequency domain without sequential real-time evolution often used in previous studies. By employing the reweighting method with the present algorithm, we obtain significant reduction of the numerical costs for temperature sweeps. Application to the Kiteav-Heisenberg model (KHM) on a honeycomb lattice demonstrates the capability of the FTK$ω$. The KHM shows quantum phase transitions from the quantum spin liquid (QSL) phase to magnetically ordered phases when the finite Heisenberg exchange coupling is introduced. We examine temperature dependence of dynamical spin structure factors of the KHM in proximity to the QSL. It is clarified that the crossover from a spin-excitation continuum, which is a characteristic of the QSL, to a damped high-energy magnon mode occurs at temperatures higher than the energy scale of the Heisenberg couplings or the spin gap that is a signature of the QSL at zero temperature. The crossover and the closeness to the Kitaev's QSL are quantitatively measured by the width of the excitation continuum or the magnon spectrum. The present results shed new light on analysis of neutron scattering and other spectroscopy measurements on QSL candidates.

研究の動機と目的

• 多体量子系における従来の有限温度スペクトル計算の指数的スケーリングを克服すること。
• Fock空間次元が 2^24 に達するような系について、標準的アンサンブル平均法では到達できない範囲で、有限温度スペクトル関数の正確な計算を可能にすること。
• 従来の手法で用いられる逐次的時間発展演算とは異なり、周波数領域への直接的なアクセスを可能にすること。
• 特にKitaev-Heisenbergモデルにおいて、量子スピン液体相付近でのダイナミカルスピン構造因子の温度依存的変化を分析すること。
• スペクトル幅とエネルギースケールの比較を用いて、スピン励起連続体（スピン液体）から減衰する磁気モードへのクロスオーバーを定量化すること。

提案手法

• 典型性アプローチとシフトされたクリロフ部分空間法を組み合わせ、マイクロカノニカルエネルギー殻内での典型純状態を構築する。
• ランダムな初期ベクトルに対する虚時間発展演算を用いて、カノニカルアンサンブル平均を再現する典型純状態を生成する。
• 複素パラメータを用いたシフトされたクリロフ部分空間法により、Stieltjesモーメント法を用いてスペクトル関数を計算する。
• 複数の温度にわたる波動関数を再利用することで、温度スイープにおける数値的コストを低減するリウェイト法を適用する。
• 残差ベクトルの2ノルムの減衰に基づく適応的停止基準を用いた共役勾配（CG）ソルバーを実装し、収束を保証する。
• スペクトル関数におけるデルタ関数の近似に、パラメータ L と M、および広げ係数 η を用いた離散化エネルギーグリッドを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 強い相関を示す量子スピン系の有限温度スペクトル関数を、計算コストを大幅に削減しつつ正確に計算可能か？
• RQ2 Kitaev-Heisenbergモデルの量子スピン液体相付近におけるダイナミカルスピン構造因子は、温度に応じてどのように変化するか？
• RQ3 Kitaev-Heisenbergモデルにおいて、スピン液体連続体がギャップを持つ磁気モードへクロスオーバーするエネルギースケールは何か？
• RQ4 典型性アプローチは、標準的アンサンブル平均法の範囲を超えて、どの程度系サイズを拡大可能か？
• RQ5 離散化パラメータ（L, M, η）は、スペクトル関数の収束性と精度にどのように影響を与えるか？

主な発見

• FTKωアルゴリズムにより、計算コストが O(N_F^3) から O(N_F) に削減され、最大24スピンの系のシミュレーションが可能となり、従来のカノニカルアンサンブル平均法で到達可能だったサイズの2倍のスケールが実現された。
• 本手法により、逐次的時間発展演算を必要とせず、有限温度スペクトルを直接計算可能となり、大幅な計算効率の向上が達成された。
• ヘキサゴナル格子上のKitaev-Heisenbergモデルにおいて、スピンギャップまたはヘイゼンベルグ結合エネルギースケールを超える温度で、スピン液体的連続体から減衰する高エネルギー磁気モードへのクロスオーバーが観測された。
• 励起連続体の幅と磁気モードのスペクトル的特徴が、Kitaev量子スピン液体相への近接度を定量的に測定可能である。
• 共役勾配ソルバーの収束は、固有値分布の下端付近で最も速く、状態密度が疎である領域で顕著に改善された。
• 24スピンまでの系サイズにおいて、L=128 と M=16 を用いることで、精度と計算コストのバランスが取れた収束結果が得られた。