[論文レビュー] Numerical analysis of multilevel Monte Carlo path simulation using the Milstein discretisation

Kristian Debrabant, Michael B. Giles+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 17被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、スカラー確率微分方程式に対してミルシュタイン離散化を用いた多重モンテカルロ法を分析し、多重モンテカルロ推定量の分散減衰率を制限することで、計算複雑性の向上を示している。主な貢献は、ミルシュタインスキームが収束順序を向上させることを厳密に分析し、多重パスシミュレーションにおいてオイラー＝マルヤム方式よりも優れた効率性を示したことにある。

ABSTRACT

The multilevel Monte Carlo path simulation method introduced by Giles (Operations Research, 56(3):607-617, 2008) exploits strong convergence properties to improve the computational complexity by combining simulations with different levels of resolution. Previous research has analysed its efficiency when using the Euler-Maruyama discretisation, and also demonstrated its improved efficiency using the Milstein discretisation with its improved strong convergence. In this paper we analyse its efficiency for scalar SDEs using the Milstein discretisation, bounding the order of convergence of the variance of the multilevel estimator, and hence determining the computational complexity of the method.

研究の動機と目的

• スカラー確率微分方程式に多重モンテカルロ法を適用する際の効率性を分析すること。
• 多重モンテカルロ推定量の分散を制限し、その計算複雑性を特定すること。
• オイラー＝マルヤム方式と比較して、多重モンテカルロ文脈におけるミルシュタインスキームの改善された強収束特性を確立すること。
• ミルシュタインスキーム下での多重モンテカルロ推定量における分散収束の次数を定量化すること。

提案手法

• 分析は、ブラウン運動によって駆動されるスカラーSDEに焦点を当て、ミルシュタイン離散化を用いて高次の強収束を達成する。
• 多重モンテカルロ推定量は、段階的な解像度のシミュレーションを複数レベルにわたり組み合わせることで構築される。
• 粗いパスと細かいパスのシミュレーションの差の分散は、ミルシュタインスキームの高次の収束特性を用いて制限される。
• ミルシュタイン法の強収束順序に基づいて、分散減衰率の理論的境界が導出される。この強収束順序は、スカラーSDEでは1.0である。
• 各レベルでのシミュレーションコストと分散減衰率のバランスをとることで、計算複雑性が特定される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スカラーSDEにミルシュタイン離散化を用いた場合、多重モンテカルロ推定量における分散の収束次数は何か？
• RQ2 ミルシュタインスキームとオイラー＝マルヤム方式の両方を用いた場合、多重モンテカルロ法の計算複雑性はどのように比較されるか？
• RQ3 ミルシュタインスキームの改善された強収束特性は、多重モンテカルロ推定量の分散低減に活用可能か？
• RQ4 ミルシュタインスキーム下での多重モンテカルロ推定量における分散減衰率に、どのような理論的境界を確立できるか？

主な発見

• 多重モンテカルロ推定量の分散は、レベルのステップサイズの二乗に比例して減衰する。これは、ミルシュタインスキームの強収束順序1.0と整合的である。
• ミルシュタイン離散化を用いた多重モンテカルロ法の計算複雑性は、オイラー＝マルヤム方式よりも優れている。これは、分散の高速な減衰に起因する。
• 理論的分析により、スカラーSDEにおいてミルシュタインスキーム下での多重モンテカルロ推定量が最適な複雑性を達成することが確認された。
• 分散減衰率は厳密に境界化されており、計算コストの観点からこの手法の効率性を正確に予測可能である。