[論文レビュー] Numerical analysis of nonlinear eigenvalue problems

Éric Cancès, Rachida Chakir+1 more|ArXiv.org|May 11, 2009

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、$\|u\|_{L^{2}}=1$ を満たす非線形楕円型固有値問題 $-\mbox{div}(A\nabla u)+Vu+f(u^{2})u=\lambda u$ の基底状態固有ペアに対する変分近似について、事前誤差推定を提示する。エネルギー誤差、固有値誤差、固有関数誤差の収束速度を確立し、一般条件下では $|\lambda_\delta - \lambda|$ が $\|u_\delta - u\|_{H^{1}}^2 + \|u_\delta - u\|_{L^{2}}$ のオーダーで収束することを示し、より強い仮定のもとでは $\|u_\delta - u\|_{H^{1}}^2$ のオーダーにまで向上することを示す。この向上には、負のソボレフノルム推定が用いられる。

ABSTRACT

We provide a priori error estimates for variational approximations of the ground state eigenvalue and eigenvector of nonlinear elliptic eigenvalue problems of the form $-{div} (A abla u) + Vu + f(u^2) u = λu$, $\|u\|_{L^2}=1$. We focus in particular on the Fourier spectral approximation (for periodic problems) and on the $¶_1$ and $¶_2$ finite-element discretizations. Denoting by $(u_δ,λ_δ)$ a variational approximation of the ground state eigenpair $(u,λ)$, we are interested in the convergence rates of $\|u_δ-u\|_{H^1}$, $\|u_δ-u\|_{L^2}$ and $|λ_δ-λ|$, when the discretization parameter $δ$ goes to zero. We prove that if $A$, $V$ and $f$ satisfy certain conditions, $|λ_δ-λ|$ goes to zero as $\|u_δ-u\|_{H^1}^2+\|u_δ-u\|_{L^2}$. We also show that under more restrictive assumptions on $A$, $V$ and $f$, $|λ_δ-λ|$ converges to zero as $\|u_δ-u\|_{H^1}^2$, thus recovering a standard result for {\em linear} elliptic eigenvalue problems. For the latter analysis, we make use of estimates of the error $u_δ-u$ in negative Sobolev norms.

研究の動機と目的

• 非線形楕円型固有値問題における基底状態エネルギー、固有値、固有関数の変分近似について、事前誤差推定を確立すること。
• 問題データの正則性に関する異なる仮定のもとで、固有関数および固有値の誤差が $H^1$ および $L^2$ ノルムでどのように収束するかを分析すること。
• 負のソボレフノルム推定を活用することで、線形固有値問題における標準的な収束結果を非線形設定に拡張すること。
• 具体的な離散化スキーム（フーリエスペクトル法、$\mathbb{P}_1$ および $\mathbb{P}_2$ 有限要素法）に対して収束挙動を検証すること。

提案手法

• 非線形固有値問題の変分的定式化に基づく分析であり、基底状態は $L^2$-正規化制約の下でのエネルギー汎関数の最小化問題として特徴付けられる。
• 固有値問題 $A_u u = \lambda u$ および $\|u\|_{L^2} = 1$ を満たす自己共役作用素 $A_u = -\mbox{div}(A\nabla \cdot) + V + f(u^2)$ に再定式化する。
• 離散解 $u_\delta$ と連続解 $u$ の差 $u_\delta - u$ を用いて誤差推定を導出し、$H^1$ および $L^2$ ノルムにおける収束速度を分析する。
• 負のソボレフノルム推定を用いて、より強い仮定のもとで固有値誤差解析を精緻化し、特に $\|u_\delta - u\|_{H^1}^2$ の収束速度を回復する。
• 収束解析は、フーリエスペクトル法および $\mathbb{P}_1$, $\mathbb{P}_2$ 有限要素離散化に適用され、$A$, $V$, $f$ の正則性に依存する。
• 汎関数 $F(t) = \int_0^t f(s)\,ds$ は $[0,\infty)$ 上で $C^1$ であり、$(0,\infty)$ 上で $C^2$ であり、$F'' > 0$ を満たすと仮定する。さらに、$f = F'$ は、精緻な推定を得るための Hölder 型条件 (8) を満たすと仮定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形固有値問題において、離散化パラメータ $\delta \to 0$ のとき、固有関数および固有値の誤差はどのように収束するか？
• RQ2 固有値誤差 $|\lambda_\delta - \lambda|$ が $\|u_\delta - u\|_{H^1}^2 + \|u_\delta - u\|_{L^2}$ のオーダーで収束する条件は何か？
• RQ3 線形固有値問題で標準的に得られる $\|u_\delta - u\|_{H^1}^2$ の収束速度は、非線形の場合に回復可能か？
• RQ4 負のソボレフノルム推定は、非線形問題における固有値誤差解析をどのように精緻化するか？
• RQ5 係数 $A$, $V$, $f$ の正則性は、収束速度にどのように依存するか？

主な発見

• 一般仮定のもとで、固有値誤差は $|\lambda_\delta - \lambda| \lesssim \|u_\delta - u\|_{H^1}^2 + \|u_\delta - u\|_{L^2}$ を満たす。
• より強い仮定、特に $f$ に対する Hölder 型条件 (8) が成り立つ場合、固有値誤差は $|\lambda_\delta - \lambda| \lesssim \|u_\delta - u\|_{H^1}^2$ のオーダーに収束し、線形問題の収束速度が回復される。
• 楕円型正則性およびハルナックの不等式により、基底状態解 $u$ は一意的で正であり、ある $\alpha \in (0,1)$ に対して $C^{0,\alpha}(\overline{\Omega})$ に属する。
• $A_u$ における固有値 $\lambda$ は単純固有値であり、非線形固有値問題の他の任意の解は、より大きな固有値を持つ。
• エネルギー汎関数は、$L^2$ ノルムが 1 である非負関数の集合上で厳密に強凸であり、最小化子 $\rho_0 = u^2$ の一意性が保証される。
• 収束解析は、フーリエスペクトル法および $\mathbb{P}_1$, $\mathbb{P}_2$ 有限要素法に適用可能であり、収束速度は問題データの正則性に依存する。