[論文レビュー] Numerical analysis of the LDG method for large deformations of prestrained plates

Andrea Bonito, Diane Guignard+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2021

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非線形かつ非凸なメトリック制約に従う予め歪みが加えられた板の大きな変形をシミュレートするためのローカル不連続ガレルキン（LDG）法の数値解析を提示する。離散エネルギーの$γ$-収束を確立し、離散勾配流におけるエネルギーの減少を証明するとともに、メトリック制約の違反を制御することで、複雑な板の形状に対する最小化子の安定的かつ高精度な計算を可能にする。

ABSTRACT

A local discontinuous Galerkin (LDG) method for approximating large deformations of prestrained plates is introduced and tested on several insightful numerical examples in our previous computational work. This paper presents a numerical analysis of this LDG method, focusing on the free boundary case. The problem consists of minimizing a fourth order bending energy subject to a nonlinear and nonconvex metric constraint. The energy is discretized using LDG and a discrete gradient flow is used for computing discrete minimizers. We first show $Γ$-convergence of the discrete energy to the continuous one. Then we prove that the discrete gradient flow decreases the energy at each step and computes discrete minimizers with control of the metric constraint defect. We also present a numerical scheme for initialization of the gradient flow, and discuss the conditional stability of it.

研究の動機と目的

• 複雑で等長的でない幾何形状を有するプレストレインド・プレートにおける大きな変形をシミュレートするための堅牢な数値法の開発。
• 4次の曲げエネルギーを非線形的かつ非凸的なメトリック制約のもとで最小化する課題に対処すること。
• メッシュサイズが0に近づく際、離散エネルギーが$γ$-収束により連続エネルギーに収束することを保証すること。
• 離散勾配流が各ステップでエネルギーを単調に減少させ、メトリック制約の違反を制御できることを証明すること。
• バイ・ラプラシアン方程式に基づく前処理ステップを用いた勾配流の安定的かつ高精度な初期化スキームの提供。

提案手法

• ヘッセ行列を再構築し、安定化項を含めたローカル不連続ガレルキン（LDG）法を用いてエネルギーを離散化する。
• 最小化子の計算にため離散勾配流を採用し、各反復でエネルギーが減少することを保証する。
• Nitscheの方法を用いてメトリック制約を弱く強制し、安定性を確保するための安定化パラメータを設定する。
• 前処理ステップとしてバイ・ラプラシアン問題を解き、初期変形を生成することで、初期歪み欠陥を小さくする。
• 自由境界条件およびディリクレ境界条件の両方を扱い、境界条件はNitscheの式を用いて弱く強制する。
• 時間刻みの制限のもとで、メトリック制約欠陥の誤差制御が分析され、その有界性が示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 メッシュサイズが0に近づくとき、離散LDGエネルギーが$γ$-収束して連続エネルギーに収束するか？
• RQ2 離散勾配流がエネルギーを単調に減少させ、制御されたメトリック制約違反を伴う最小化子を計算できることを証明できるか？
• RQ3 勾配流の開始前に歪み欠陥を最小化するため、安定的かつ高精度な初期変形をどのように構築できるか？
• RQ4 時間刻み法において、離散勾配流スキームの安定性を保証する条件は何か？
• RQ5 境界条件は離散スキームの収束性および安定性にどのように影響するか？

主な発見

• LDG法を用いて構築された離散エネルギーは、メッシュサイズが0に近づくにつれて連続エネルギーに$γ$-収束する。
• 離散勾配流は各ステップでエネルギーを厳密に減少させ、離散最小化子への収束を保証する。
• メトリック制約欠陥は$D_{h}(\mathbf{y}_{h}^{n}) \leq \varepsilon_{0} + c\tau(E_{h}(\mathbf{y}_{h}^{0}) + \widetilde{c})$により制御され、$c$は領域および境界にのみ依存する。
• バイ・ラプラシアン方程式を用いた前処理ステップにより、境界条件をほぼ満たす初期変形$\widehat{\mathbf{y}}_{h}$が生成され、歪み欠陥が低減される。
• ディリクレ境界条件の場合、エネルギーおよび制約欠陥のバインディングは修正された安定化定数を用いて保持され、スケーリングの堅牢性が保証される。
• $E^{p}_{h}(\widetilde{\mathbf{y}}_{h}^{n_{h}}) \lesssim \sigma_{h}$のとき、$E^{b}_{h}(\widetilde{\mathbf{y}}_{h}^{n_{h}}) \lesssim 1$および$D_{h}(\widetilde{\mathbf{y}}_{h}^{n_{h}}) \lesssim \sigma_{h}^{1/2}$が成り立ち、制約制御の有効性が確認される。