[論文レビュー] Numerical Approximation in Riemannian Manifolds by Karcher Means

Stefan W. von Deylen|arXiv (Cornell University)|May 14, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、非一様曲率を示すリーマン多様体の数値的近似を、ケルクァー平均を用いて重心単体を定義することで実現する数値的手法を提案する。形状正則性のもとで、得られる写像がほぼ等長写像となることを保証する。主な貢献は、重心写像の微分およびその勾配が有界であることを証明し、曲がった多様体上でもガラーキン有限要素法を適用可能にし、古典的なユークリッド空間における手法と同等の誤差推定が得られることを示したことである。

ABSTRACT

(1) For a compact Riemannian manifold without boundary $(M,g)$ containing $n+1$ points $p_i$ and the $n$-dimensional standard simplex $Δ$, the miniser of \[ E: M imes Δ o {\mathbf R}, (a,λ) \mapsto λ^0 d^2(a,p_0) + \dots + λ^n d^2(a,p_n) \] is considered as point with "barycentric coordinates" $λ_i$ within the so-called Karcher simplex (or Riemannian simplex or geodesic finite element) defined by vertices $p_i$. In the small, existence and uniqueness is well-known. Now suppose $Δ$ carries a flat Riemannian metric $g^e$ induced by edge lengths $d(p_i,p_j)$, where $d$ is the geodesic distance in $M$. If all edge lengths are small than $h$ and $vol(Δ,g^e) \geq αh^n$ for some $α> 0$, then we can show that \begin{equation} |(x^*g - g^e)(v,w)| \leq c h^2 |v| |w|, \qquad |( abla^{x^*g} - abla^{g^e})_v w| \leq c h |v| |w| \end{equation} with some constant $c$ depending only on the curvature tensor $R$ of $(M,g)$ and $α$. From this we derive several estimates for Finite Element calculations in which $(M,g)$ is replaced by a piecewise flat realised simplicial complex. (2) Let $M$ be the geometric realisation of a simplicial complex $K$. The simplicial cohomology $(C^k(K), \partial^*)$ has been interpreted as "discrete outer calculus" (DEC) in the literature. We define spaces $P^{-1}Ω^k \subset L^\inftyΩ^k$ and outer differentials and give an isometric cochain map $C^k o P^{-1}Ω^k$. This reduces the computation of variational problems in discrete outer calculus to variational problems in a trial space of non-conforming differential forms. We investigate the approximation properties of $P^{-1}Ω^k$ in $H^1Ω^k$ and compare the solutions to variational problems in both spaces.

研究の動機と目的

• 非一様曲率を示すリーマン多様体における、計算可能で幾何学的に意味のある単体の定義を提供すること。
• ケルクァー重心写像が一対一であり、有効な重心座標を誘導する条件を確立すること。
• 重心写像の歪みに関する定量的推定を提供し、曲率依存の境界のもとで等長写像に近い挙動を示すようにすること。
• 区分的平坦な単体的近似に基づく多様体上でのガラーキン有限要素法を可能にし、古典的なユークリッド有限要素理論と同等の誤差制御を実現すること。
• 内挿的幾何的構成を用いて、離散的幾何的手法と曲がった多様体上の変分型偏微分方程式の間のギャップを埋めること。

提案手法

• 標準単体 $ \triangle $ から多様体 $ M $ への重心写像 $ x: \triangle \to M $ を定義し、その像としてケルクァー単体を構築する。この写像は、与えられた頂点 $ p_i \notin M $ のリーマン中心の質量（ケルクァー平均）によって定義される。
• リーマン中心の質量（ケルクァー平均）を用いて、標準単体から多様体への一意的かつ連続的な重心写像を定義する。
• 多様体および頂点配置の形状正則性条件を用いて、微分 $ dx $ 及びその勾配 $ \nabla dx $ を有界化し、ほぼ等長写像の挙動を保証する。
• ジョストとカルケル（1982年）の $ \nabla dx $ 評価理論を応用し、ガラーキン近似理論と組み合わせて誤差境界を導出する。
• 有限要素空間の $ L^2 $-最良近似性質およびポincare型不等式を用いて、ガラーキン解の誤差を制御する。
• 勾配 $ \nabla W $ が $ Q = dx - Pdy $ の $ L^2 $-最良近似であるという事実を用い、補間および勾配制御を介して誤差推定を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ケルクァー重心写像 $ x $ がその像上への微分同相写像であるための条件は何か。これにより単体上に有効な重心座標が誘導されるか。
• RQ2 重心写像 $ x $ の歪みは通常座標のものと比べてどの程度か。曲率およびメッシュサイズの観点から有界にできるか。
• RQ3 ガラーキン有限要素法を、リーマン多様体の区分的平坦な単体的近似上での変分問題に厳密に適用可能か。
• RQ4 ケルクァーに基づく単体的三角形分割を用いた多様体上でのPDEのガラーキン近似の誤差推定は何か。
• RQ5 特に測地線距離の正確な計算が高コストであることを踏まえ、重心写像の暗黙的定義を計算的に実行可能にする方法は何か。

主な発見

• ケルクァー重心写像の微分 $ dx $ は、$ |dx| \triangleq \text{ess sup} |\nabla dx| \triangleq C_{0,1}^{\text{primes}} h $ を満たす。ここで $ h $ はメッシュサイズであり、$ C_{0,1}^{\text{primes}} $ は曲率および形状正則性に依存する。
• 微分の勾配 $ \nabla dx $ は $ L^\nu $-ノルムで有界であり、$ \nabla dx \triangleq \text{ess sup} |\nabla dx| \triangleq C_{0,1}^{\text{primes}} h $ である。これにより、写像はほぼ等長写像として振る舞う。
• ケルクァー単体上でのガラーキン解は最適誤差推定を達成する：$ \rho_0(x,y) + \rho_1(x,y) \triangleq \rho_{0,\text{bdry}}(x,y) + h \nabla dx + C_{0,1}^{\text{primes}} h $。定数は多様体の幾何構造および次元に依存する。
• 本手法により、重心写像が変分式のための本質的な幾何的構造を保つことにより、曲がった多様体上でも標準的な有限要素技法を適用可能にする。
• 形状正則性および曲率条件が満たされれば、誤差境界は古典的なユークリッド有限要素理論と同程度のオーダーとなる。
• 本手法は、二乗距離関数 $ \textbf{d}^2 $ の近似に対してロバストであることが示唆され、クレインら（2013年）の高速測地線距離ソルバーを用いた実装が現実的である。