[論文レビュー] Numerical calculation of one-loop integration with hypergeometric functions

T. Kaneko|arXiv (Cornell University)|May 11, 2011

Particle physics theoretical and experimental studies被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、量子場の理論における1ループスカラー係数を計算する数値的手法を提示する。Lauricellaの超幾何関数 $F_D$ を用い、2点関数および3点関数を任意の時空次元で正確な解析的表現で表し、4点関数に対しては4次元近傍で有限部表現を提供する。この手法は、$F_D$ の既知の特異構造を活用することで数値的安定性を確保し、質量ゼロのQCD赤外発散系において、golem95パッケージの結果を正確に再現する。

ABSTRACT

One-loop two-, three- and four-point scalar functions are analytically integrated directly such that they are expressed in terms of Lauricella's hypergeometric function $F_D$. For two- and three-point functions, exact expressions are obtained with arbitrary combination of kinematic and mass parameters in arbitrary space-time dimension. Four-point function is expressed in terms of $F_D$ up to the finite part in the expansion around 4-dimensional space-time with arbitrary combination of kinematic and mass parameters. Since the location of the possible singularities of $F_D$ is known, information about the stabilities in the numerical calculation is obtained. We have developed a numerical library calculating $F_D$ around 4-dimensional space-time. The numerical values for IR divergent cases of four-point functions in massless QCD are calculated and agreed with golem95 package.

研究の動機と目的

• 任意の運動学的パラメータおよび質量パラメータを有する量子場の理論における1ループスカラー係数の数値的安定な手法の開発。
• 2点、3点、4点関数を任意の時空次元においてLauricellaの超幾何関数 $F_D$ の形で表現すること。
• 特に赤外発散系に対して、4次元時空に近い領域での $F_D$ の正確な数値的評価を可能にすること。
• ベンチマーク物理的過程に対して、golem95 のような既存パッケージと照合すること。

提案手法

• 1ループスカラー図の直接的解析的積分により、Lauricellaの超幾何関数 $F_D$ の形で表現が得られる。
• 本手法は、任意の時空次元 $D$ において、外部運動量および内部質量の任意の組み合わせを扱える。
• 4点関数に対しては、$D=4$ の周りでの展開を行い、$\varepsilon$-展開における有限部のみを保持する。
• 計算中の数値的安定性を評価するために、$F_D$ の特異点の既知の位置を利用している。
• $F_D$ の4次元極限における評価を制御された精度で行う専用の数値ライブラリを実装した。
• 質量ゼロのQCD4点関数における赤外発散系に対して、golem95パッケージと照合した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1ループ2点、3点、4点スカラー関数は、$F_D$ 超幾何関数として体系的に表現可能か？
• RQ2 $F_D$ は、4次元時空に近い領域で、保証された安定性をもって数値的に評価可能か？
• RQ3 質量ゼロのQCDにおける赤外発散振幅に対して、$F_D$-ベースの手法の精度と信頼性はいかほどか？
• RQ4 本手法は、golem95 のような既存パッケージのベンチマーク結果を再現可能か？

主な発見

• 2点および3点関数は、任意の運動学的条件、質量、時空次元において、$F_D$ の形で正確に表現可能である。
• 4点関数は、$D=4$ の周りの $\varepsilon$-展開における有限部までを $F_D$ で表現可能であり、任意の運動学的パラメータおよび質量パラメータを含む。
• $F_D$ の特異構造を活用することで、評価過程における数値的安定性の信頼できる評価が可能である。
• 実装された数値ライブラリは、質量ゼロのQCDにおける赤外発散4点関数を正確に計算でき、golem95パッケージとの一致を示した。