[論文レビュー] Numerical characterization of the Kähler cone of a compact Kähler manifold

Jean-Pierre Demailly, Mihai Păun|ArXiv.org|May 22, 2001

Geometry and complex manifolds参考文献 15被引用数 119

ひとこと要約

本稿では、コンパクト・ケーラー多様体上のケーラー・コンイの数値的特徴付けを提示し、それがすべての既約な解析的サイクル上で数値的に正である実 (1,1)-コホモロジー類の集合の1つの連結成分に一致することを示している。主な結果は、モンジュ＝アンペール方程式とカラビ＝ヤウの定理を用いた質量集中法により、非整数クラスへのナイカイ＝モイシェゾンの基準の拡張を実現し、上記のトータル自己交叉が正であるネフ類がケーラー・カレントを含むことを証明している。

ABSTRACT

The goal of this work is give a precise numerical description of the Kähler cone of a compact Kähler manifold. Our main result states that the Kähler cone depends only on the intersection form of the cohomology ring, the Hodge structure and the homology classes of analytic cycles: if $X$ is a compact Kähler manifold, the Kähler cone $\cK$ of $X$ is one of the connected components of the set $\cP$ of real $(1,1)$ cohomology classes $\{α\}$ which are numerically positive on analytic cycles, i.e. $\int_Yα^p>0$ for every irreducible analytic set $Y$ in $X$, \hbox{$p=\dim Y$}. This result is new even in the case of projective manifolds, where it can be seen as a generalization of the well-known Nakai-Moishezon criterion, and it also extends previous results by Campana-Peternell and Eyssidieux. The principal technical step is to show that every nef class $\{α\}$ which has positive highest self-intersection number $\int_Xα^n>0$ contains a Kähler current; this is done by using the Calabi-Yau theorem and a mass concentration technique for Monge-Ampère equations. The main result admits a number of variants and corollaries, including a description of the cone of numerically effective $(1,1)$ classes and their dual cone. Another important consequence is the fact that for an arbitrary deformation $\cX o S$ of compact Kähler manifolds, the Kähler cone of a very general fibre $X_t$ is ``independent'' of $t$, i.e.\ invariant by parallel transport under the $(1,1)$-component of the Gauss-Manin connection.

研究の動機と目的

• コンパクト・ケーラー多様体上のケーラー・コンイの正確な数値的記述を提供すること。
• プロジェクト型多様体や整数クラスにとどまらない範囲にまでナイカイ＝モイシェゾンの基準を一般化すること。
• ケーラー・コンイが、交差形式、ホッジ構造、および解析的サイクルのホモロジー類にのみ依存することを確立すること。
• コンパクト・ケーラー多様体の変形における平行移動に関してケーラー・コンイが不変であることを証明すること。
• 数値的正性条件を用いてネフ類およびその双対コンイを特徴付けること。

提案手法

• カルビ＝ヤウの定理を用いて、所定のカレント質量を持つモンジュ＝アンペール方程式を解くこと。
• 解析的サイクルに沿って正のレロウ数を強制するために質量集中法を適用すること。
• クラス $\alpha$ の引き戻しを用いて、$X \times X$ 上の対角を支配する閉じた正のカレントを構成すること。
• デメールリ（1992年）の一般化された正則化定理を用いて、特異カレントを正則化し、解析的集合の外では滑らかで、対数的極を持つカレントを得ること。
• ガウス＝マインの接続の (1,1)-成分に沿った平行移動を用いて、変形の間のコホモロジー類を追跡すること。
• コーデイラ＝スペンサー理論を応用し、ファミリーにおけるケーラー・コンイの開性を示し、変形における不変性を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト・ケーラー多様体のケーラー・コンイは、交差理論とホッジ構造を用いて、純粋に数値的に特徴付けられるか？
• RQ2 プロジェクト型多様体上の非整数 (1,1)-クラスに対し、ナイカイ＝モイシェゾンの基準は拡張可能か？
• RQ3 ネフ (1,1)-クラスがケーラー・カレントを含むための条件は何か？
• RQ4 コンパクト・ケーラー多様体のファミリーにおける平行移動に関してケーラー・コンイは不変か？
• RQ5 数値的に有効なクラスのコンイとその双対コンイの間の正確な関係は何か？

主な発見

• コンパクト・ケーラー多様体のケーラー・コンイは、すべての次元 $p$ の既約な解析的部分多様体 $Y \subset X$ に対して $\int_Y \alpha^p > 0$ を満たす実 (1,1)-類 $\{\alpha\}$ の集合の1つの連結成分に正確に一致する。
• プロジェクト型多様体では、この条件が $\{\alpha\}$ がネロン＝セベリ群 $NS_{\mathbb{R}}(X)$ の外にある場合でさえも、すべてのケーラー類を特徴付けるため、ナイカイ＝モイシェゾンの基準を一般化する。
• トータル自己交叉 $\int_X \alpha^n > 0$ を満たすネフ類 $\{\alpha\}$ は、ケーラー・カレントを含み、これは解析的集合の外では滑らかで、それ自身に沿って対数的極を持つ。
• 数値的に有効（ネフ）なクラスのコンイは、任意の固定されたケーラー計量 $\omega$ に対して、すべての $k$ およびすべての次元 $p$ の既約な解析的部分多様体 $Y$ に対して $\int_Y \alpha^k \wedge \omega^{p-k} \geq 0$ を満たすクラスの集合に一致する。
• ネフコンイの双対は、$H^{n-1,n-1}(X,\mathbb{R})$ 内の形 $[Y] \wedge \omega^{p-1}$ のコホモロジー類によって生成される閉じた凸コンイである。
• 任意のコンパクト・ケーラー多様体の変形ファミリー $\mathcal{X} \to S$ において、非常に一般なファイバーのケーラー・コンイは、ガウス＝マインの接続の (1,1)-成分に沿った平行移動に関して不変である。