[論文レビュー] Numerical comparisons between Gauss-Legendre methods and Hamiltonian BVMs defined over Gauss points

Luigi Brugnano, Felice Iavernaro+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2010

Numerical methods for differential equations被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、多項式ハミルトニアン系のためのエネルギー保存型数値積分法であるハミルトニアン境界値法（HBVMs）を紹介する。この手法は、ハミルトニアンを正確に保存するように拡張されたコロケーション条件を課すことにより、ガウス＝レジェンドル積分法を一般化し、任意の多項式次数のハミルトニアンに対してもエネルギー保存を達成する。標準的なガウス法は二次ハミルトニアンにしか保存しないが、HBVMsは任意の多項式次数でエネルギー保存を維持する。数値実験により、大きなステップサイズでも機械精度に近いハミルトニアン不変性が達成される一方、ガウス法はエネルギー誤差を蓄積し、これを低減するにはより小さなステップサイズまたは高次の手法が必要となることが示された。

ABSTRACT

Hamiltonian Boundary Value Methods are a new class of energy preserving one step methods for the solution of polynomial Hamiltonian dynamical systems. They can be thought of as a generalization of collocation methods in that they may be defined by imposing a suitable set of extended collocation conditions. In particular, in the way they are described in this note, they are related to Gauss collocation methods with the difference that they are able to precisely conserve the Hamiltonian function in the case where this is a polynomial of any high degree in the momenta and in the generalized coordinates. A description of these new formulas is followed by a few test problems showing how, in many relevant situations, the precise conservation of the Hamiltonian is crucial to simulate on a computer the correct behavior of the theoretical solutions.

研究の動機と目的

• 多項式ハミルトニアン系、特にハミルトニアンが高次である場合に、ハミルトニアン関数を正確に保存する数値解法を開発すること。
• 古典的ガウス＝レジェンドルコロケーション法の限界、すなわち二次ハミルトニアンにしか保存しないこと、高次多項式では失敗することを解消すること。
• エネルギー保存が、特に周期的領域境界付近の長期間のダイナミクスを正しく再現するために極めて重要であることを示すこと。
• 長期間の積分区間におけるエネルギー保存の精度と軌道の忠実性の観点から、HBVMsとガウス＝レジェンドル法を比較すること。
• HBVMsが機械精度で周期的領域境界を特定できることを検証すること。一方、ガウス法では顕著なエネルギー漂流が生じることを示すこと。

提案手法

• HBVMsは、保存ベクトル場の連続線積分を一般化した離散線積分の定式化に基づいて構築される。
• 位相空間内の多項式パス上に拡張コロケーション条件を課し、離散的エネルギー積分が正確にゼロになるようにする。
• シフトされたレジェンドル多項式に基づく正規直交多項式を用いて、離散的解パスの基底を定義する。
• この手法は、$k$ 個のサイレントステップと $s$ 個のステップを持つBVMとして実装され、$k \geq 2s-1$ を満たすことで、次数 $2k-1$ までの多項式に対してハミルトニアンを正確に保存する。
• 拡張コロケーション条件から導かれる非線形方程式系を解くことで解を進めるが、この過程でハミルトニアンが正確に保存される。
• 同一のハミルトニアン系を同一のステップサイズと許容誤差で積分し、エネルギー誤差と軌道精度を測定することで、HBVMsとガウス＝レジェンドル法を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の次数の多項式ハミルトニアンに対して正確にハミルトニアンを保存する数値解法を設計可能か？特に二次ハミルトニアンに限らない。
• RQ2 高次多項式ハミルトニアンを持つ系を積分する際、HBVMsのエネルギー保存性能はガウス＝レジェンドル法と比べてどのように異なるか？
• RQ3 エネルギー漂流は、特に周期的領域境界付近の長期間の軌道挙動にどのような影響を与えるか？
• RQ4 HBVMsは、ステップサイズや次数に依存せずに、周期的領域境界を機械精度で特定できるか？
• RQ5 HBVMsによるエネルギーの正確な保存は、サドル点付近の領域において、ガウス法よりもより正確で安定した軌道を生成するか？

主な発見

• HBVMs（$k=5,8,10,13$ および $s=2,3,4,5$）による4次、6次、8次、10次解法は、周期的領域境界点を相対エネルギー誤差 $\leq 4.6 \times 10^{-16}$ で計算し、機械精度に達した。
• これに対して、ガウス法（HBVM($s$,$s$））は $h=1$ 時に最大 $2.15 \times 10^{-2}$ の相対エネルギー誤差を示し、これはステップサイズを小さくするか、次数を高める必要がある。
• HBVM(5,2)により計算された数値軌道は、サドル点 $P_1$ を正確に通過したが、同程度の次数のガウス法はエネルギー漂流のため、顕著に不規則な軌道を生成した。
• ガウス法では、わずかなハミルトニアン誤差でも周期的領域境界付近で顕著な軌道の不規則性が生じ、図11に示された。
• HBVMsが計算した点 $y_0^{(k,s)}$ は、すべてのシミュレーションで同一であったため、境界検出が一貫的かつ正確であることが示された。
• HBVMsはステップサイズ（$h=1$ または $h=0.5$）にかかわらず、機械精度でエネルギー保存を維持した。一方、ガウス法では精度を向上させるためにステップサイズの縮小が必要であった。