[論文レビュー] Numerical computation and new output bounds for time-limited balanced truncation of discrete-time systems

Igor Pontes Duff, Patrick Kürschner|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2019

Model Reduction and Neural Networks参考文献 32被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、離散時間系における時間限界平衡線形化（TLBT）のための新規な誤差境界を提示する。この境界は時間限界ℋ₂ノルムの定式化に基づき導出され、大規模なTLステイン方程式を解くための効率的な低ランク有理的クライヴ法が提案されている。主な貢献は、適応的モデル次数低減を可能にする計算可能な出力誤差境界であり、有限時間区間内では標準的BTに比べてより高い精度を達成しながらも、計算効率を維持していることが示された。

ABSTRACT

In this paper, balancing based model order reduction (MOR) for large-scale linear discrete-time time-invariant systems in prescribed finite time intervals is studied. The first main topic is the development of error bounds regarding the approximated output vector within the time limits. The influence of different components in the established bounds will be highlighted. After that, the second part of the article proposes strategies that enable an efficient numerical execution of time-limited balanced truncation for large-scale systems. Numerical experiments illustrate the performance of the proposed techniques.

研究の動機と目的

• 時間限界平衡線形化（TLBT）の出力に対する計算可能な誤差境界を、離散時間系において開発すること。
• 無視されたハンケル特異値を誤差指標として用いることで、適応的モデル次数低減を可能にすること。
• TLBTに生じる大規模な時間限界ステイン方程式を解くための効率的な数値アルゴリズムを設計すること。
• 精度と計算コストの観点から、TLBTと標準的平衡線形化の性能を比較すること。

提案手法

• 有限時間区間における出力誤差を特徴付けるために、行列方程式を用いた時間限界ℋ₂ノルムを導入する。
• 時間限界ℋ₂ノルムを用いて、無視されたハンケル特異値の和として表される新しい出力誤差境界を導出する。
• 時間限界グラミアンの低ランク因子を計算するために、有理的クライヴ部分空間法を適用し、大規模計算を可能にする。
• 最適化されたシフトパラメータと残差に基づく誤差推定法を提案し、低次元モデルにおける精度を向上させる。
• 適応的次数低減の停止基準として、無視されたハンケル特異値の和（σr）を用いる。
• 大規模なベンチマーク例に対して手法を検証し、精度と効率の観点からTLBTと標準的BTを比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間限界平衡線形化のための計算可能な出力誤差境界を、離散時間系において導出可能か？
• RQ2 有限時間区間内において、TLBTの出力精度は標準的平衡線形化と比べてどのように異なるか？
• RQ3 無視されたハンケル特異値の和を、TLBTにおける適応的モデル次数低減の信頼できる指標として用いることができるか？
• RQ4 モデル次数低減の文脈において、大規模な時間限界ステイン方程式を解くために最も効果的な数値手法は何か？

主な発見

• 時間限界ℋ₂ノルムに基づく提案された出力誤差境界は、実際の出力誤差を正確に予測しており、数値実験できわめて良好な一致が確認された。
• 無視されたハンケル特異値の和（σr）を用いた適応的次数低減は、ユーザーが定めた許容誤差内での誤差制御に成功し、標準的BTと同等の性能を示した。
• 時間区間τ内では、TLBTが標準的BTよりも一貫して高い精度の低次元モデルを生成しており、出力誤差境界と実際の誤差の両方が低かった。
• 最適化されたシフトパラメータを用いた有理的クライヴ法は、時間限界ステイン方程式の低ランク解を効率的に計算でき、大規模システムにおいて良好な精度とスケーラビリティを達成した。
• 同じ精度を達成する場合、TLBTは標準的BTよりも低い次数の低次元モデルを生成したため、時間限界設定においてより高い効率性を示した。
• 本手法はまれに不安定な低次元モデルを生成する場合があり、今後の研究で安定化技術の導入が求められることが示唆された。これは連続時間系におけるTLBTの報告と同様の傾向である。