[論文レビュー] Numerical computation of Petersson inner products and $q$-expansions

Dan J. Collins|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、フーリエ係数の線形補間を用いて、任意の特異点におけるモジュラー形式のq展開を計算する2つの数値的アルゴリズムを提示する。これにより、ネルソンの公式を用いてペトソン内積を効率的に評価できる。主な貢献は、内積とL値を高精度で計算することで、イチノの三重積公式の理論的定数を明示的な例で数値的に検証する実用的手法を提供することにある。

ABSTRACT

In this paper we discuss the problem of numerically computing Petersson inner products of modular forms, given their $q$-expansion at $\infty$. A formula of Nelson reduces this to obtaining $q$-expansions at all cusps, and we describe two algorithms based on linear interpolation for numerically obtaining such expansions. We apply our methods to numerically verify constants arising in an explicit version of Ichino's triple-product formula relating $\langle fg,h angle$ to the central value of $L(f imes g imes \bar{h},s)$, for three modular forms $f,g,h$ of compatible weights and characters.

研究の動機と目的

• 無限遠点におけるq展開のみが与えられた場合に、すべての特異点におけるモジュラー形式のq展開を数値的に計算するための手法を開発すること。
• ネルソンの公式を用いて、各特異点における展開係数と修正Bessel関数の項を含む和として表されるペトソン内積を正確に計算できるようにすること。
• イチノの三重積公式の明示的バージョンにおける⟨fg,h⟩とL(f×g×h̄,s)の関係を、高精度なL値と定数を用いて数値的に検証すること。
• 特にレベルが大きく、または互いに素であるような形式に対して、完全なモジュラー形式空間の計算とは異なる計算効率の良い代替手法を提供すること。
• 理論的定数を、数値的に計算された内積の比とL値の比を比較することで検証すること。

提案手法

• 上半平面内の特定の点におけるf|γ_kの値の線形補間を用いて、f|γ_kの無限遠点におけるq展開（つまり、fの特異点γ(∞)における展開）を再構築する。
• 変換されたモジュラー形式f|γ_kを注意深く選んだ点でサンプリングし、最小二乗法フィッティングを用いて、特異点におけるq展開の係数を近似する。
• 2つのバリアントを実装する：一般のモジュラー形式向け（アルゴリズム2.3）と、固有形式の構造を活用して計算コストを削減するもの（アルゴリズム2.6）。
• ネルソンの公式を用いて、ペトソン内積を、各特異点における展開係数とBessel関数の項を含む和として表現する。
• ドコチターのアルゴリズムを用いてL値を計算し、高精度な数値的検証を保証する。
• |⟨fg,h⟩|²とL(f×g×h̄,m−1)の比を計算し、イチノの公式による理論的定数と比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限遠点におけるq展開から、任意の特異点におけるモジュラー形式のq展開を高精度で数値的に計算できるか？
• RQ2 完全なモジュラー形式空間の計算を避けて、ペトソン内積を効率的に計算する方法は何か？
• RQ3 |⟨fg,h⟩|² / L(f×g×h̄,m−1)の数値的値は、イチノの公式が予測する理論的定数と一致するか？
• RQ4 L関数における超臨界的、主系列的、または非分岐な局所成分を含む場合に、この手法は信頼性を持って扱えるか？
• RQ5 さまざまな局所表現を有する多様な例において、イチノの公式の検証における数値的精度と計算コストは何か？

主な発見

• 線形補間を用いたこの手法は、すべての特異点におけるq展開を効果的に計算でき、ネルソンの公式を用いたペトソン内積の数値的評価を可能にした。
• 重さ6、レベル4、自明な特徴保有の超臨界的ケース（fが重さ6、レベル4、自明な特徴保有、g=Δ、hが重さ18、レベル1）において、計算された比は理論的定数と高精度で一致した：約6.4929462×10⁻²⁵。
• 2つの非分岐および1つの超臨界的表現を含むケースでは、(1+1/p)⁻²および代数的係数を含む理論的表現と一致し、公式の正当性が確認された。
• 2つの同型の超臨界的表現と1つの非分岐表現を含むケースでは、αおよびc=2を含む理論的表現と一致し、約2.63747667×10⁻¹⁸の値が得られた。
• c=4および非自明なサタケパラメータを含むケースでは、(α² + 1 + α⁻² − 1/p)²を含む理論的表現と一致し、約5.23125495×10⁻¹⁸の値が得られた。
• 多様なケースにおける一貫性ある数値的一致は、イチノの公式における理論的定数が正しく、余分な因子や2の累乗が存在しないことを強く示唆している。