[論文レビュー] Numerical Computations for Backward Doubly SDEs and SPDEs

Yufeng Shi, Weiqiang Yang+1 more|ArXiv.org|May 30, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、スケーリングされたランダムウォークに基づく離散時間のオイラー型近似を用いて、後向き双乱周性微分方程式（BDSDEs）の解の近似のための2つの数値スキームを提案する。リプシッツ連続および収縮条件の下で、数値解のほとんど確実収束を証明し、BDSDEおよびSPDEの数値シミュレーションの理論的基盤を確立する。応用分野は、数学的ファイナンスおよび確率解析に及ぶ。

ABSTRACT

In this paper we present two numerical schemes of approximating solutions of backward doubly stochastic differential equations (BDSDEs for short). We give a method to discretize a BDSDE. And we also give the proof of the convergence of these two kinds of solutions for BDSDEs respectively. We give a sample of computation of BDSDEs.

研究の動機と目的

• 後向き双乱周性微分方程式（BDSDEs）を解くための数値手法を開発すること。BDSDEsは理論的意義は高いが、実際にはほとんど取り扱われていない。
• 標準的なBSDEsの既存の数値技術を、2つの独立したブラウン運動を含むより複雑なBDSDEフレームワークに拡張すること。
• 標準的なリプシッツ連続および収縮条件の下で、BDSDEの離散近似の収束を厳密に確立すること。
• BDSDEの数値的シミュレーションおよびその確率的偏微分方程式（SPDEs）への関連性を考慮した計算フレームワークを提供すること。
• 数学的ファイナンスおよび確率的制御分野における実用的応用を支援し、従来は解けなかった確率的系の数値的解法を可能にすること。

提案手法

• 時間区間 [0,T] を n 等分し、ステップサイズ δ = T/n とする。
• 独立同一分布のベルヌーイ系列を用いて、2つの独立したブラウン運動を近似するスケーリングされたランダムウォーク {Bⁿ_t} および {Wⁿ_t} を構築する。
• W に関する伊藤積分に対しては前向き時間近似、B に関する積分に対しては後向き時間近似を用いて、離散BDSDEを定義する。
• 近似過程の弱収束を確立するために、ドンスカー型定理の離散版を適用する。
• 解の成長を制御し、安定性の証明に役立てるために、指数的重み φ = γ^δ を用いた重み付き事前推定を用いる。
• モーメント推定、バーグシュタイン＝デイヴィス＝ギュンデイ不等式、およびグロワールド型の議論を、重み付き誤差過程に適用して、期待値における収束を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの独立したブラウン運動を含む後向き双乱周性微分方程式（BDSDEs）に対して、一貫性のある数値スキームを構築可能か？
• RQ2 BDSDEのオイラー型離散化が真の解に収束するための条件は何か？
• RQ3 生成子が前向きおよび後向き確率積分を含む場合、数値解の収束をどのように厳密に証明できるか？
• RQ4 g係数における収縮条件が数値的安定性および収束を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 この数値的手法を、関連する確率的偏微分方程式（SPDEs）の解の近似に拡張可能か？

主な発見

• リプシッツ連続および収縮条件の下で、オイラー近似に基づく最初の数値スキームは、真のBDSDE解にほとんど確実に収束する。
• 別の離散化アプローチを用いた第二のスキームも、同じ条件下でほとんど確実に収束を達成する。
• 主要な技術的結果として、φ = γ^δ を用いた重み付き事前推定を確立し、解のノルムの制御と収束証明の両者を可能にする。
• 収束速度は明示的に特定されていないが、δ → 0 のとき、解および制御過程の誤差が 0 に近づくことが証明されている。
• 生成子 f と g がそれぞれリプシッツ連続および収縮条件を満たすという仮定の下で、この手法は頑健である。
• 証明は、モーメント推定、バーグシュタイン＝デイヴィス＝ギュンデイ不等式、および重み付き誤差過程に適用されたグロワールド型の議論に依拠している。