[論文レビュー] Numerical conformal mapping via a boundary integral equation with the adjoint generalized Neumann kernel

Mohamed M. S. Nasser, Ali H. M. Murid+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2013

Numerical methods in engineering参考文献 30被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、境界対応関数の導関数 θ′(t) の性質を用いて、共役一般化ネウマンカーネルを有する新しい境界積分方程式を用いて、有界な多重連結領域から5つの古典的標準スリット領域への共形写像、その導関数、および逆写像を統一的に数値的に計算する手法を提示する。この手法は、写像を共役リーマン＝ヒルベルト問題に再定式化し、θ′(t) の一意的可解な積分方程式を導出し、θ(t) と写像パラメータは積分と同一の式を用いて計算することで、特異作用素や複数の積分方程式を必要とせず、安定かつ高精度に計算を可能にする。

ABSTRACT

This paper presents a new uniquely solvable boundary integral equation for computing the conformal mapping, its derivative and its inverse from bounded multiply connected regions onto the five classical canonical slit regions. The integral equation is derived by reformulating the conformal mapping as an adjoint Riemann-Hilbert problem. From the adjoint Riemann-Hilbert problem, we derive a boundary integral equation with the adjoint generalized Neumann kernel for the derivative of the boundary correspondence function $θ'$. Only the right-hand side of the integral equation is different from a canonical region to another. The function $θ'$ is integrated to obtain the boundary correspondence function $θ$. The integration constants as well as the parameters of the canonical region are computed using the same uniquely solvable integral equation. A numerical example is presented to illustrate the accuracy of the proposed method.

研究の動機と目的

• 有界な多重連結領域から5つの古典的標準スリット領域への共形写像を計算する統一的数値手法の開発。
• 異なる標準領域に対して別個の定式化や複数の積分方程式を必要とする従来手法の制限を克服すること。
• 写像関数、その導関数、およびその逆写像を同時に高精度・安定に計算できること。
• θ′(t) の値がゼロに近い際に生じる数値的不安定性（例：θ′(t)/|θ′(t)| の評価）を回避すること。
• 右辺が標準領域にのみ依存する、一意的可解な1つの積分方程式を提供し、実装および解析を簡素化すること。

提案手法

• 境界対応関数 θ′(t) の導関数の性質を用いて、共形写像を共役リーマン＝ヒルベルト問題に再定式化する。
• θ′(t) に対して、共役一般化ネウマンカーネルを有する境界積分方程式を導出し、一意的可解性を保証する。
• θ(t) は θ′(t) の積分により得られ、積分定数は同一の積分方程式を用いて計算される。
• 標準領域用のパラメータ R(t) も同一の積分方程式を用いて計算され、一貫性が保たれる。
• 写像関数 ω(z) 及びその導関数 ω′(z) の境界値は、θ(t)、θ′(t)、R(t) から再構成される。
• 内部点における ω(z) の値はコーシー積分公式を用いて計算され、逆写像の値はコーシー型積分またはニュートン反復法により計算される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 5つの古典的標準スリット領域への共形写像を統一的に計算できる、一意的可解な境界積分方程式を1つ導出できるか？
• RQ2 θ′(t) の導関数を、θ′(t)/|θ′(t)| のような数値的に感受性の高い項に依存せずに安定に計算できるか？
• RQ3 共役一般化ネウマンカーネルが、異なる標準領域にわたる可解性の保証と定式化の簡素化に果たす役割は何か？
• RQ4 1つの積分方程式フレームワークを用いて、写像関数、その導関数、およびその逆写像を同時に計算できるか？
• RQ5 従来手法が用いた特異作用素や複数の積分方程式を回避することで、数値的安定性と効率性が向上するか？

主な発見

• 提案手法は、テストされたすべての標準領域で 10^(-13) のオーダーの数値誤差を達成しており、収束性の高さが示された。
• 従来手法が3つの別個の積分方程式を必要とするのに対し、本手法は1つの積分方程式で写像関数、その導関数、および逆写像を計算可能である。
• 積分方程式の右辺は標準領域にのみ依存するため、実装が簡素化され、5つの領域すべてに統一的に適用可能である。
• θ′(t) の値がゼロに近い際に生じる θ′(t)/|θ′(t)| の評価に起因する数値的不安定性を回避している。
• ω(z) 及び ω′(z) の境界値は、θ(t)、θ′(t)、R(t) から直接計算され、追加の特異作用素や反復補正の必要がない。
• 本手法は単純連結領域および多重連結領域の両方に適用可能であり、標準領域の元の範囲を超えてその有用性が拡張される。