[論文レビュー] Numerical Energy Dissipation for Time-Fractional Phase-Field Equations

Chaoyu Quan, Tao Tang+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2020

Solidification and crystal growth phenomena参考文献 31被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、非一様な時間刻みを用いた時間分数フェーズフィールド方程式に対して、1次安定化半陽的L1スキームを用いて離散エネルギー法則を確立し、エネルギー散逸および有界性を証明している。さらに、(2−α)-次L1-SAVスキームへの拡張を行い、αが小さい場合でさえも、修正されたエネルギーが有界かつ散逸的であることを示した。理論的分析は、厳密な数値的妥当性によって裏付けられている。

ABSTRACT

The numerical integration of phase-field equations is a delicate task which needs to recover at the discrete level intrinsic properties of the solution such as energy dissipation and maximum principle. Although the theory of energy dissipation for classical phase field models is well established, the corresponding theory for time-fractional phase-field models is still incomplete. In this article, we study certain nonlocal-in-time energies using the first-order stabilized semi-implicit L1 scheme. In particular, we will establish a discrete fractional energy law and a discrete weighted energy law. The extension for a $(2-α)$-order L1 scalar auxiliary variable scheme will be investigated. Moreover, we demonstrate that the energy bound is preserved for the L1 schemes with nonuniform time steps. Several numerical experiments are carried to verify our theoretical analysis.

研究の動機と目的

• 時間分数フェーズフィールド方程式に対して、離散的分数的および重み付きエネルギー法則を確立すること。
• 非一様時間刻みを用いた1次安定化半陽的L1スキームのエネルギー安定性を分析すること。
• 解析をより高次（2−α）次L1-SAVスキームへ拡張すること。
• エネルギーの有界性および散逸性が、特にαが小さい場合に数値的に保持されているかどうかを検証すること。
• 時間分数PDEに適用可能なエネルギー安定スキームのフレームワークを提供すること。

提案手法

• フェーズフィールド方程式におけるCaputo時間分数微分を近似するために、1次安定化半陽的L1スキームを用いる。
• エネルギー安定性の分析と離散エネルギー法則の導出に、特別なコレスキー分解技術を適用する。
• L1スキームに対して、離散的分数的エネルギー法則および離散的重み付きエネルギー法則を導出する。
• 解析を(2−α)次L1-SAVスキームへ拡張し、エネルギーの有界性および散逸性を保証する。
• 特にt=0付近の解像度を向上させるために、非一様時間メッシュ（加重）を用いる。
• アレン＝キャーン、カーン＝ヒルヤールド、およびMBE方程式に対する数値実験を通じて、理論的結果を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間分数フェーズフィールド方程式に1次L1スキームを適用した場合、離散的分数的エネルギー法則を確立できるか？
• RQ2 非一様時間刻みを用いたL1スキームは、エネルギーの有界性および散逸性を保持するか？
• RQ3 （2−α）次L1-SAVスキームは、時間分数フェーズフィールドモデルにおいてエネルギー安定性および有界性を維持できるか？
• RQ4 αを小さくすると、L1スキームにおけるエネルギー散逸および数値的解像度にどのような影響が生じるか？
• RQ5 コレスキー分解技術は、時間分数問題におけるエネルギー安定性解析に、どの程度有効であるか？

主な発見

• 1次L1スキームに対して離散的分数的エネルギー法則が確立され、半離散的レベルでのエネルギー散逸が保証された。
• 非一様時間刻みを用いたL1スキームは、αが小さい場合でさえもエネルギーの有界性を保持しており、数値的検証によって裏付けられた。
• α=0.3の場合、標準的なL1スキームでは解像度が不十分なためにエネルギー散逸が破られるが、エネルギーの有界性は依然として維持される。
• （2−α）次L1-SAVスキームはエネルギーの有界性を保証し、離散的分数的エネルギー法則を満たす。
• 数値実験により、すべてのテストされたα値およびメッシュタイプにおいて、修正されたエネルギーが初期エネルギー以上に有界であることが確認された。
• コレスキー分解技術は、時間分数フェーズフィールド問題におけるエネルギー安定性解析に有効であることが示された。