[論文レビュー] Numerical instability of the Akhmediev breather and a finite-gap model of it

P. G. Grinevich, P. M. Santini|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2017

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 38被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、分離ステップフーリエ法（SSFM）を用いて、焦点型非線形シュレーディンガー方程式におけるアフメドエフブレーカーの数値的不安定性を調査する。丸め誤差が無視できる場合、数値解は正確なレートのループを示す、種数2の有限ギャップ解でよく近似されることを示している。主な発見は、SSFMが時間ステップ数の逆数の二乗に比例する垂直不安定ギャップを導入することであり、これは高精度シミュレーションにおけるループ周期と位相安定性を説明する。

ABSTRACT

In this paper we study the numerical instabilities of the NLS Akhmediev breather, the simplest space periodic, one-mode perturbation of the unstable background, limiting our considerations to the simplest case of one unstable mode. In agreement with recent theoretical findings of the authors, in the situation in which the round-off errors are negligible with respect to the perturbations due to the discrete scheme used in the numerical experiments, the split-step Fourier method (SSFM), the numerical output is well-described by a suitable genus 2 finite-gap solution of NLS. This solution can be written in terms of different elementary functions in different time regions and, ultimately, it shows an exact recurrence of rogue waves described, at each appearance, by the Akhmediev breather. We discover a remarkable empirical formula connecting the recurrence time with the number of time steps used in the SSFM and, via our recent theoretical findings, we establish that the SSFM opens up a vertical unstable gap whose length can be computed with high accuracy, and is proportional to the inverse of the square of the number of time steps used in the SSFM. This neat picture essentially changes when the round-off error is sufficiently large. Indeed experiments in standard double precision show serious instabilities in both the periods and phases of the recurrence. In contrast with it, as predicted by the theory, replacing the exact Akhmediev Cauchy datum by its first harmonic approximation, we only slightly modify the numerical output. Let us also remark, that the first rogue wave appearance is completely stable in all experiments and is in perfect agreement with the Akhmediev formula and with the theoretical prediction in terms of the Cauchy data.

研究の動機と目的

• 焦点型非線形シュレーディンガー方程式における分離ステップフーリエ法（SSFM）下でのアフメドエフブレーカーの数値的不安定性を分析すること。
• 特にSSFMを含む離散的数値スキームが、不安定な背景の周期的1モード摂動におけるループ波の再発に与える影響を調査すること。
• 標準的な二重精度シミュレーションにおける丸め誤差が、再発周期と位相を破壊する役割を特定すること。
• 数値的摂動と調和近似に対するアフメドエフブレーカーの第一ピーク特性の頑健性を検証すること。
• 有限ギャップ理論からの理論的予測を、数値出力と種数2解の比較により検証し、経験的スケーリング則を導出すること。

提案手法

• 時間ステップ数を変化させた分離ステップフーリエ法（SSFM）を用いた焦点型NLS方程式の数値的シミュレーション。
• 初期条件として正確なアフメドエフブレーカーとその第一調和近似を用いた数値出力の比較。
• 丸め誤差を抑えるために高精度（四重精度）算術を用い、離散スキームに起因する不安定性を分離する。
• 有限ギャップ理論を応用し、数値的不安定性を種数2の解としてモデル化し、時間領域ごとに異なる基本関数で振る舞いを記述する。
• 時間ステップ数と再発時間・ギャップ開口の関係を経験的に導出する式の導出。
• 空間グリッドの感度分析として、空間点数を減らして離散化効果が再発と位相に与える影響を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 丸め誤差が無視できる場合、分離ステップフーリエ法（SSFM）はアフメドエフブレーカーをどのように数値的に近似するか？
• RQ2 SSFMにおける時間ステップ数と、数値的に生成されたループ波の再発時間および位相安定性の関係は何か？
• RQ3 なぜ標準的な二重精度シミュレーションでは、アフメドエフブレーカーが解析的に安定であるにもかかわらず、再発周期と位相に著しい不安定性が現れるのか？
• RQ4 正確なアフメドエフ初期条件を第一調和近似に置き換えると、数値出力にどの程度の変化が生じるか？
• RQ5 特に種数2の解を用いた有限ギャップ理論は、SSFMにおける観察された数値的不安定性をどのように記述できるか？

主な発見

• 丸め誤差が無視できる場合、アフメドエフブレーカーに対するSSFMの数値出力は、正確なループを示す種数2の有限ギャップ解でよく記述される。
• 驚くべき経験的公式が、再発時間とSSFMにおけるギャップ開口を時間ステップ数の逆数の二乗に関連づけ、ギャップ長さが $ N_t^{-2} $ に比例することが示された。ここで $ N_t $ は時間ステップ数である。
• SSFMはスペクトル平面（$ \mathrm{Re}\,E_1 = \mathrm{Re}\,E_2 = 0 $）に垂直不安定ギャップを導入し、位相シフトなしに再発が観察される理由を説明する。
• 標準的な二重精度シミュレーションでは、丸め誤差が支配的であり、再発周期と位相に顕著な不安定性が生じ、時間ステップ数が増えるほど悪化する。
• 正確なアフメドエフ初期条件を第一調和近似に置き換えても、数値出力にほとんど変化がなく、第一ピークダイナミクスの頑健性が確認された。
• 最初のループ波の出現時刻、位置、および振幅は、すべてのシミュレーション設定において完全に安定しており、アフメドエフの公式と理論的予測とが一致した。