[論文レビュー] Numerical integration of dynamical systems with Lie series: Relativistic acceleration and non-gravitational forces

David Bancelin, Daniel Hestroffer+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2016

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ひとこと要約

本論文は、相対論的加速度およびヤルコフスキー効果を含む力学的系におけるLie級数数値積分法を拡張し、非重力的力が作用するN体問題の高精度でシンプレクティックな積分を可能にする。この手法は、水星の近日点移動について1.1×10⁻⁴ arcsec/revolution以内の精度を達成し、ヤルコフスキー効果に起因する半長径の長期的変化についても、ラウー（Radau）法および解析的結果と約5%以内で一致する。

ABSTRACT

The integration of the equations of motion in gravitational dynamical systems -- either in our Solar System or for extra-solar planetary system -- being non integrable in the global case, is usually performed by means of numerical integration. Among the different numerical techniques available for solving ordinary differential equations, the numerical integration using Lie series has shown some advantages. In its original form (Hanslmeier 1984), it was limited to the N-body problem where only gravitational interactions are taken into account. We present in this paper a generalisation of the method by deriving an expression of the Lie-terms when other major forces are considered. As a matter of fact, previous studies had been made but only for objects moving under gravitational attraction. If other perturbations are added, the Lie integrator has to be re-built. In the present work we consider two cases involving position and position-velocity dependent perturbations: relativistic acceleration in the framework of General Relativity and a simplified force for the Yarkovsky effect. A general iteration procedure is applied to derive the Lie series to any order and precision. We then give an application to the integration of the equation of motions for typical Near-Earth objects and planet Mercury.

研究の動機と目的

• 純粋な重力的N体問題にとどまらないLie級数積分法を、相対論的加速度やヤルコフスキー効果などの非重力的力も含めるように拡張すること。
• 位置および速度に依存する摂動に適用可能な一般化されたLie項の再帰公式を導出すること。
• 主な力学的系について、解析的解および標準的な数値手法（例：Radau法）と比較して、拡張された積分器の妥当性を検証すること。
• 水星のような惑星および近地小惑星（NEO）の長期的で高精度なシミュレーションを可能にする。この際、相対論的および非重力的摂動を含める。
• 一般化された積分器を用いて、位置および速度に依存する任意の力に対応可能とすることで、将来的なインパクト確率評価、安定性解析、彗星運動の研究への応用を支援すること。

提案手法

• HanslmeierおよびDvorak（1984）のフレームワークを拡張し、任意の位置および速度に依存する力に対応する一般化されたLie級数項の再帰公式を導出する。
• Lie作用素形式を用いて運動方程式をLie級数展開により積分し、解を初期条件に作用するLie微分作用素の指数関数として表現する。
• 後ニュートン近似を用いて相対論的加速度を組み込み、近日点移動率は標準的な相対論的公式から導出する。
• ヤルコフスキー効果を位置および速度に依存する力としてモデル化し、軌道要素のガウス方程式と整合する簡略化された横方向成分モデルを用いる。
• 任意の所望の次数および精度までLie級数項を計算する一般化された反復手続きを実装し、長期的積分における高精度を確保する。
• Lie積分器の結果を、解析的解（例：水星の近日点移動）およびRadau積分器によるヤルコフスキー効果に起因する半長径の変化と比較することで、手法の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lie級数積分法は、相対論的加速度やヤルコフスキー効果といった非重力的力も含め、一般化可能か？
• RQ2 拡張されたLie積分器は、水星の近日点移動のような既知の相対論的進動率をどの程度正確に再現できるか？
• RQ3 Radau積分器や解析的モデルと比較して、Lie積分器はヤルコフスキー効果に起因する半長径の長期的変化をどの程度正確に再現できるか？
• RQ4 近地小惑星のような小惑星の長期的軌道進化をシミュレートする際、拡張されたLie積分器は高精度と効率性を維持できるか？
• RQ5 Celestial mechanicsにおける任意の位置および速度に依存する力に対応できるように、Lie積分器を拡張することは可能か？

主な発見

• 拡張されたLie積分器は、水星の相対論的近日点移動を1.1×10⁻⁴ arcsec/revolution以内の誤差で再現し、解析的値0.103526 arcsec/revolutionと良好な一致を示す。
• ヤルコフスキー効果に関しては、Lie積分器が半長径の変化をRadau積分器の結果と0.1–0.3 km/revolution（すなわち0.3–0.5%の差）の範囲で再現し、Chesleyら（2008）の値とも約4–5%以内で一致する。
• 質量のない物体および質量のある物体を同時に扱えることが確認され、Radau積分器と同等の能力を有する。
• アルゴリズムにより、相対論的およびヤルコフスキー効果を受ける近地小惑星の高精度な長期的積分が可能となり、インパクト確率評価や接近接近の研究に不可欠である。
• 位置および速度に依存する力も含めたLie項の再帰公式が一般化され、今後の他の摂動への応用の基盤が築かれる。
• 実装により、非重力的力が含まれる状況でも、Lie級数法が高精度かつシンプレクティックな積分器として機能し続けることが示された。これは、安定性解析や動的進化の研究への応用を支持する。