[論文レビュー] Numerical investigation of the second harmonic effects in the LJJ

P. Kh. Atanasova, T. L. Boyadjiev+2 more|arXiv (Cornell University)|May 31, 2010

Physics of Superconductivity and Magnetism参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、連続的ニュートン法と4次精度のNumerov離散化を用いて、2次調波電流-位相関係を有する長大なジョセフソン接合（LJJ）の二重サインゴン方程式について数値的検討を行う。新たなフラクショング状態が発見され、2次調波の符号および大きさがフラクショングの安定性を顕著に変化させることを示し、負の2次調波寄与に対しては、安定な1フラクショング状態が共存する状態が生じることを明らかにする。

ABSTRACT

We study the long Josephson junction (LJJ) model which takes into account the second harmonic of the Fourier expansion of Josephson current. The sign of second harmonic is important for many physical applications. The influence of the sign and value of the second harmonic on the magnetic flux distributions is investigated. At each step of numerical continuation in parameters of the model, the corresponding nonlinear boundary problem is solved on the basis of the continuous analog of Newton's method with the 4th order Numerov discretization scheme. New solutions which do not exist in the traditional model have been found. The influence of the second harmonic on stability of magnetic flux distributions for main solutions is investigated.

研究の動機と目的

• 長大なジョセフソン接合における磁気フラックス分布に及ぼすジョセフソン電流-位相関係の2次調波の影響を調査すること。
• 数値的分岐解析を用いて、2次調波パラメータを変化させた際のフラクショング解の安定性を分析すること。
• 従来の正弦関数的電流-位相モデルに存在しない、新たな静的フラクショング解を同定すること。
• 2次調波の符号および振幅がフラクショング状態の安定性および共存性を決定づける役割を調べること。

提案手法

• ジョセフソン電流-位相関係に第1および第2調波項を含む二重サインゴン方程式を用いてLJJをモデル化すること。
• 高次精度を達成するため、連続的ニュートン法（CANM）を用いて非線形境界値問題を解くこと。
• 微分方程式の離散化に4次精度のNumerov有限差分スキームを適用し、数値的安定性と精度を確保すること。
• 解の安定性を評価するために、最小固有値λ₀を求める関連するストゥルム＝リウヴィル固有値問題を解くこと。
• パラメータ（a₁, a₂, hₑ, γ, l）を用いた数値的継続法により解の分岐を追跡し、分岐点を検出すること。
• 複数の空間ステップサイズ（h = 0.15625, 0.078125, 0.0390625）を用いたグリッド細分化と収束チェックにより、結果の妥当性を検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジョセフソン電流-位相関係に2次調波を含めることで、長大なジョセフソン接合における静的磁気フラックス分布の存在および構造にどのような影響が生じるか？
• RQ2 2次調波の符号および大きさがフラクショング解の安定性に与える影響、特に分岐点および安定性区間への影響は何か？
• RQ3 2次調波が非ゼロである場合に新たな静的解が出現するか？それらは従来の単一サインゴン方程式モデルの解とどのように異なるか？
• RQ4 複数の安定な1フラクショング状態が共存する条件は何か？これは2次調波パラメータa₂にどのように依存するか？
• RQ5 外部磁場hₑの変化に伴うストゥルム＝リウヴィル問題の最小固有値λ₀の変化は、安定性遷移を示唆するか？その変化はa₂の値に依存するか？

主な発見

• 2次調波が負の場合（a₂ < 0）、外部磁場の一定範囲において2つの異なる安定な1フラクショング状態（Φ¹およびΦ¹*）が共存し、a₂ ≈ -0.8で観測された。
• a₂ ∈ [0, 1]の範囲では、1フラクショング状態Φ¹がより高いhₑで安定化し、a₂が0.7を超えて増加するにつれて分岐点が当初は左方へ、その後右方へ移動する。
• a₂ > 0.7では、不安定化の臨界場h_crが増加し、正の2次調波寄与が大きいほど安定性が向上することを示している。
• a₂ ∈ [-1, 0]の範囲では、a₂を負の値から増加させるとλ₀(hₑ)曲線が右方へシフトし、a₂ ≈ -0.8で曲線が2つの交差する分岐に分裂する。これは2つの安定な1フラクショング状態の共存を示している。
• a₂ → 0に近づくと、1フラクショング状態Φ¹のエネルギーは1に近づき、標準的な無限大接合モデルにおける単一フラクショングのエネルギーと整合的である。
• すべてのa₂において、フラクショング数N[Φ¹]は1として保存され、∂N/∂a₂ = 0であるため、1フラクショング状態の位相的安定性が確認された。