[論文レビュー] Numerical investigations of traveling singular sources problems via moving mesh method

Zhicheng Hu, Keiwei Liang|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2012

Fluid Dynamics and Vibration Analysis参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、異なる速度で移動する複数の移動特異源を有する1次元PDEを解くために、移動メッシュ法と領域分割を組み合わせた手法を提案する。各特異源の周囲で領域を部分領域に分割し、それぞれの部分領域で局所的なメッシュ方程式を独立に解くことで、解の微分におけるジャンプを計算しなくてもよくなる。これにより、2次精度の空間収束が達成され、並列計算も効率的に行える。本手法は、異なる速度で移動する特異源における爆発現象を正確に捉えることができ、これは従来の数値的解析が行われていなかったケースである。

ABSTRACT

This paper studies the numerical solution of traveling singular sources problems. In such problems, a big challenge is the sources move with different speeds, which are described by some ordinary differential equations. A predictor-corrector algorithm is presented to simulate the position of singular sources. Then a moving mesh method in conjunction with domain decomposition is derived for the underlying PDE. According to the positions of the sources, the whole domain is splitted into several subdomains, where moving mesh equations are solved respectively. On the resulting mesh, the computation of jump $[\dot{u}]$ is avoided and the discretization of the underlying PDE is reduced into only two cases. In addition, the new method has a desired second-order of the spatial convergence. Numerical examples are presented to illustrate the convergence rates and the efficiency of the method. Blow-up phenomenon is also investigated for various motions of the sources.

研究の動機と目的

• 時間依存の特異源が異なる速度で移動するPDEを数値的に解く際の課題に対処すること。
• 解の微分におけるジャンプが生じる移動源位置を通過する際に、標準的な有限差分/有限要素法が失敗することを克服すること。
• 特異源位置における [u_x] ジャンプ項の明示的計算を回避する、安定で2次収束する数値スキームの開発。
• 領域分割と部分領域における局所的メッシュ等分配により、効率的な並列計算を可能にすること。
• 非一様および周期的な速度を示す源の運動パターンにおける解の爆発挙動を調査すること。

提案手法

• 特異源の時間依存位置 α_i(t) を記述するODE dα_i/dt = ψ_i(t, α_i(t), u) に従い、予測補正アルゴリズムを用いて追跡する。
• 計算領域を q 個の特異源によって分離された q+1 個の部分領域に分割し、各部分領域で独立に局所的移動メッシュ方程式を解く。
• MMPDE（例：MMPDE4/5/6）を用いて、特異源付近にメッシュ点を集中させる等分配原理に基づく移動メッシュを生成する。
• 物理的PDEは、得られた適応メッシュ上で有限差分法により離散化され、領域分割のおかげで2種類の異なるステンシルのみが必要となる。
• 各部分領域を独立に取り扱うことで、[u_x] ジャンプの直接計算を回避し、離散化プロセスを簡素化する。
• 特別な時間刻み込み実装により、全体のスキームにおける2次精度の空間収束が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 領域分割を用いた移動メッシュ法は、異なる非一様速度で移動する複数の特異源を有するPDEを効果的に扱えるか？
• RQ2 移動特異源における解の微分 [u_x] のジャンプを、数値離散化においてどのように回避できるか？
• RQ3 提案手法の空間収束率は何か？ 2次精度が維持されるか？
• RQ4 特異源が異なる速度で移動する場合に、爆発現象を正確に捉えることができるか？
• RQ5 本手法は、q > 2 の複数の特異源と、異なる運動パターンを有する場合に拡張可能か？

主な発見

• 数値実験により、特定の時間刻み込み戦略を採用した場合、提案手法は2次精度の空間収束を達成することが確認された。
• 速度 k=2 で移動する1つの特異源の場合、t ≈ 2.0397 に x ≈ 4.0794 の位置で爆発が発生し、u_max ≈ 3.16×10^6 に達する。
• 両方の特異源が同じ速度 k=2 で移動する場合、2番目の特異源で t ≈ 1.6896 に爆発が発生し、u_max ≈ 3.16×10^6 に達する。
• A=π の対称的周期的運動の場合、両特異源で同時に t ≈ 2.4969 に爆発が発生し、u_max ≈ 3.16×10^6 に達する。
• 異なる速度で移動する特異源における爆発現象を、従来の数値的解析が行われていなかったケースとして正確にシミュレートできた。
• 局所的吸収境界条件を用いることで、解の精度に影響を与えずに観測領域を小さくできることが、数値結果で示された。