[論文レビュー] Numerical Method for FBSDEs of McKean-Vlasov Type

Jean-François Chassagneux, Dan Crisan+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、平均場制御および平均場ゲーム問題に現れるMcKean-Vlasov型の前向き後向き確率微分方程式（FBSDEs）を解くための新しい数値スキームを提示する。この手法は、小さな時間区間にわたる再帰的局所ピカール反復を用い、解の分解場に関する弱い正則性条件のもとで収束を確立する。誤差評価は確率的テイラー展開とマルティンゲール推定を用いて導出される。

ABSTRACT

This paper is dedicated to the presentation and the analysis of a numerical scheme for forward-backward SDEs of the McKean-Vlasov type, or equivalently for solutions to PDEs on the Wasserstein space. Because of the mean field structure of the equation, earlier methods for classical forward-backward systems fail. The scheme is based on a variation of the method of continuation. The principle is to implement recursively local Picard iterations on small time intervals. We establish a bound for the rate of convergence under the assumption that the decoupling field of the forward-bakward SDE (or equivalently the solution of the PDE) satisfies mild regularity conditions. We also provide numerical illustrations.

研究の動機と目的

• 古典的手法が解の分布に関する非マルコフ的かつ非局所的依存性のため失敗する平均場（McKean-Vlasov）構造を有する前向き後向きSDEの堅牢な数値スキームの開発を目的とする。
• 解の分布に関する非局所的PDE（Wasserstein空間上）を、分解場を介してFBSDEに結びつけることで、平均場ゲームおよび制御に現れる非局所的PDEの解法に挑戦する。
• 分解場および係数に関する弱い正則性仮定のもとで、提案スキームの収束速度を確立することを目的とする。
• 無限次元測度空間上の従来のPDEソルバーの複雑さを避ける確率的数値的手法を提供することを目的とする。

提案手法

• スキームは継続法の変種を用い、時間区間を小さく分割して再帰的に局所ピカール反復を適用することで、結合されたFBSDE系の解の安定化を図る。
• 前向き成分は時間分割を用いたオイラー型スキームで離散化され、後向き成分は条件付き期待値を用いて反復的に近似される。
• 誤差解析には確率的テイラー展開が用いられ、主要な項には分解場の2階微分および測度引数におけるWasserstein微分が含まれる。
• 後向き成分の誤差を制御するためにマルティンゲール増分が導入され、Bürkholder-Davis-Gundy不等式およびモーメント推定を用いて境界が導出される。
• McKean-Vlasov FBSDEとマスター方程式（Wasserstein空間上での非局所的PDE）との関係を活用し、分解場を解の代理として用いる。
• 連続時間スキームが構築・解析され、解成分のモーメントバウンドと組み合わせて、離散グロワール型不等式を用いて誤差が制御される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 解の分布に依存する非局所的および非マルコフ的依存性のため古典的手法が失敗するMcKean-Vlasov FBSDEに対して、その失敗を克服する数値スキームを設計可能か？
• RQ2 分解場および係数に関する弱い正則性仮定のもとで、そのようなスキームの収束速度はいかほどか？
• RQ3 Wasserstein空間上での完全なPDE離散化を避けて、方程式の非マルコフ的かつ測度依存的構造をどのように数値的に扱えるか？
• RQ4 小さな時間区間における再帰的局所ピカール反復が、全時間区間における安定かつ収束する近似をもたらすか？
• RQ5 とくに時間刻みサイズおよび解の正則性に応じて、スキームの正確なモーメントおよび誤差バウンドは何か？

主な発見

• 提案スキームは、分解場に関する弱い正則性条件のもとで収束を達成し、収束速度は最大時間刻みサイズの平方根に比例する定数倍で抑えられる。
• 後向き成分の誤差はマルティンゲール増分分解により制御され、誤差項の期待二乗ノルムが $ Ch_i^{1/2} $ で抑えられ、安定性が保証される。
• 前向き成分の解ノルムは、初期データ、時間刻み、および分解場近似の誤差に依存する定数によって抑えられる。
• 解成分のモーメント推定に離散グロワール不等式を適用することで、スキームの収束が確立される。
• 数値的実験により理論的収束速度が確認され、実用的状況でもスキームの堅牢性が示された。
• 法則依存係数を用いて、マスター方程式の非局所的および測度微分項を反復的ピカールスキームに埋め込むことで、これらを効果的に扱えた。