[論文レビュー] Numerical methods for phase retrieval

Eliyahu Osherovich|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2012

Advanced X-ray Imaging Techniques参考文献 52被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、スパarsity制約と近似的なフーリエ位相知識を活用することで、1回の測定からの強度測定値のみを用いて、コherentな回折像取り込み（CDI）において波長未満の分解能を達成する、新しい最適化ベースの位相再構成手法を提示する。既知の基底（ウェーブレットや勾配領域など）における信号のスパarsityを活用することで、従来のデコンボリューションや位相再構成手法、特にFienupのHIOやGerchberg-Saxton法に比べて顕著に優れた性能を発揮する高分解能画像の再構成が可能となる。

ABSTRACT

In this work we consider the problem of reconstruction of a signal from the magnitude of its Fourier transform, also known as phase retrieval. The problem arises in many areas of astronomy, crystallography, optics, and coherent diffraction imaging (CDI). Our main goal is to develop an efficient reconstruction method based on continuous optimization techniques. Unlike current reconstruction methods, which are based on alternating projections, our approach leads to a much faster and more robust method. However, all previous attempts to employ continuous optimization methods, such as Newton-type algorithms, to the phase retrieval problem failed. In this work we provide an explanation for this failure, and based on this explanation we devise a sufficient condition that allows development of new reconstruction methods---approximately known Fourier phase. We demonstrate that a rough (up to $π/2$ radians) Fourier phase estimate practically guarantees successful reconstruction by any reasonable method. We also present a new reconstruction method whose reconstruction time is orders of magnitude faster than that of the current method-of-choice in phase retrieval---Hybrid Input-Output (HIO). Moreover, our method is capable of successful reconstruction even in the situations where HIO is known to fail. We also extended our method to other applications: Fourier domain holography, and interferometry. Additionally we developed a new sparsity-based method for sub-wavelength CDI. Using this method we demonstrated experimental resolution exceeding several times the physical limit imposed by the diffraction light properties (so called diffraction limit).

研究の動機と目的

• コherentな回折像取り込み（CDI）における位相再構成の根本的課題に取り組むこと、ここで得られるのは強度測定値のみである。
• 信号のスパarsityに関する事前知識を活用することで、1回の測定実験において波長未満の分解能を達成すること。
• ハードウェアの改造なしに光学、電子顕微鏡、その他の顕微鏡システムに一般化可能なアルゴリズムを開発すること。
• スパarsityが、非負性や有界サポートよりも優れたスーパーキャパシティの鍵であることを示すこと。
• 既存の画像撮影ハードウェアと互換性があり、リアルタイムで計算効率の良い再構成フレームワークを提供すること。

提案手法

• 複素数の勾配とヘッセ行列を用いた制約付き最適化問題として位相再構成問題を定式化する。
• l0に類似したペナルティ項やその他のノルムを用いて、スパarsityを促進する正則化項を目的関数に導入する。
• フーリエ領域におけるデータ適合性と信号領域におけるスパarsityの強制を交互に繰り返す反復的最適化スキームを採用する。
• 収束の安定性と高速化を図るために、フーリエ位相の近似知識を事前知識として組み込む。
• 信号に依存しない基底関数の選択戦略を採用し、再構成品質を最適化するための自動グリッド決定手法を導入する。
• 参照ビームの位相不確実性をモデル化し、反復的に補正することで、ホールログラフィック像取り込みに本手法を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 既知の基底におけるスパarsityが、1回の測定からの強度測定値から波長未満の分解能を実現可能にするか？
• RQ2 近似フーリエ位相知識が、位相再構成における再構成の安定性と正確性をどのように向上させるか？
• RQ3 基底関数の選択とグリッド解像度が、再構成品質と収束速度に与える影響は何か？
• RQ4 本手法が、Fienupのハイブリッド入力出力（HIO）法やGerchberg-Saxton法に比べ、分解能と頑健性の面で優れているか？
• RQ5 本手法は、原子間力顕微鏡や磁気力顕微鏡などの非光学的像取り込みシステムへどの程度一般化可能か？

主な発見

• 本手法は、強度測定値とスパarsityに関する事前知識のみを用いて、CDIで波長未満の分解能を達成し、従来のデコンボリューションや位相再構成手法に比べ顕著な改善を示した。
• スパarsityと近似位相知識の併用により再構成品質が著しく向上するが、スパarsityのみでは高分解能再構成には不十分であることが示された。
• 処理時間の比較により、リアルタイム応用に適した高速な再構成が達成されており、Lena や Phantom といったテスト画像でもその有効性が確認された。
• さまざまなグリッドピッチサイズにおいて、目的関数の値が安定して収束し、最適な性能が正しくグリッド解像度（例：21ピクセル）で得られていることから、パrameterチューニングに対して頑健であることが示された。
• 実験結果から、ノイズ環境下や参照ビームの位相誤差が存在する状況でも、合成的および実際のCDIデータにおいて、波長未満の特徴を効果的に回復できることを確認した。
• 特に低SNR環境やタイトサポート条件下において、FienupのHIO法やGerchberg-Saxton法に比べ、分解能と頑健性の面で本手法が優れていることが示された。