[論文レビュー] Numerical Methods for Solving Convection-Diffusion Problems

Alexander Churbanov, Petr N. Vabishchevich|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2012

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 36被引用数 79

ひとこと要約

本稿では、移流拡散方程式に対して、移流輸送の保存的・非保存的・歪対称的形態を用いた、無条件安定かつ単調な有限差分法および有限要素法のスキームを提示する。ヒルベルト空間およびバナッハ空間における安定性と収束性を確立し、新規の局所的一般化および加法的平均化分割スキームにより、拡散項および速度場に適切な条件下で任意の時間刻み幅において単調性と最適な誤差境界を保証する。

ABSTRACT

Convection-diffusion equations provide the basis for describing heat and mass transfer phenomena as well as processes of continuum mechanics. To handle flows in porous media, the fundamental issue is to model correctly the convective transport of individual phases. Moreover, for compressible media, the pressure equation itself is just a time-dependent convection-diffusion equation. For different problems, a convection-diffusion equation may be be written in various forms. The most popular formulation of convective transport employs the divergent (conservative) form. In some cases, the nondivergent (characteristic) form seems to be preferable. The so-called skew-symmetric form of convective transport operators that is the half-sum of the operators in the divergent and nondivergent forms is of great interest in some applications. Here we discuss the basic classes of discretization in space: finite difference schemes on rectangular grids, approximations on general polyhedra (the finite volume method), and finite element procedures. The key properties of discrete operators are studied for convective and diffusive transport. We emphasize the problems of constructing approximations for convection and diffusion operators that satisfy the maximum principle at the discrete level --- they are called monotone approximations. Two- and three-level schemes are investigated for transient problems. Unconditionally stable explicit-implicit schemes are developed for convection-diffusion problems. Stability conditions are obtained both in finite-dimensional Hilbert spaces and in Banach spaces depending on the form in which the convection-diffusion equation is written.

研究の動機と目的

• 流体力学および熱・質量移動に現れる移流拡散方程式に対する、強固で無条件安定な数値解法の開発。
• 移流および拡散作用素の単調近似を通じて、離散的最大原理の満たし方の保証。
• 最適な安定性および収束性を持つ二段階および三段階時間離散化スキームの構築。
• 異なる形態の移流拡散方程式に対して、有限次元ヒルベルト空間およびバナッハ空間における安定性および単調性の分析。
• 実装に適した効率的で並列処理可能な分割スキーム（局所的一般化および加法的平均化）の設計。

提案手法

• 矩形グリッド上での有限差分法、一般の多面体メッシュ上での有限体積法、および適合有限要素法を用いた空間離散化。
• 物理的挙動を異なる形でモデル化するため、移流輸送作用素の保存的（発散型）、非保存的（特性型）、歪対称的形態を用いる。
• パラメータσを用いた重み付き時間積分スキーム（例：クランク・ニコルソン型）を適用し、2次精度および無条件安定性を達成する。
• 時間発展作用素の乗法的分割を用いた局所的一般化（LOD）スキームを導入し、時間刻み制約下で単調性を保証する。
• 加法的分割を用いた加法的平均化LODスキームを提案し、各成分の独立計算を可能とすることで並列性を向上させる。
• 行列解析を用いて安定性および単調性条件を導出し、反復行列がM行列であり、かつそのノルムが1以下であることを要件とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 移流拡散方程式に対して、保存的および非保存的形態の両方において、無条件安定かつ単調な数値スキームを構築可能か？
• RQ2 移流輸送作用素の異なる形態（発散型、非発散型、歪対称型）が、数値解の安定性および精度に与える影響は何か？
• RQ3 有限次元ヒルベルト空間およびバナッハ空間における時間分割スキームの単調性および安定性の必要十分条件は何か？
• RQ4 局所的一般化または加法的平均化スキームは、任意の時間刻み幅において単調性および最適な誤差境界を維持できるか？
• RQ5 標準的手法と比較して、提案スキームの並列処理可能性および計算効率はいかがな性能を示すか？

主な発見

• 乗法的分割を用いた局所的一般化スキームは、σ = 1 のとき任意の τ > 0 において単調であり、L∞ または L1 範囲での事前推定を満たす。σ < 1 の場合には時間刻み制約下で同様の性質を示す。
• 加法的平均化LODスキームは、類似の条件下で単調性と同様の事前推定を保証し、成分の独立計算により並列性が向上する。
• 反復行列 S₁ および S₂ がM行列であり、ノルムが1以下であることを確認することで、安定性および単調性を証明し、離散的最大原理の満たし方を保証する。
• σ = 1 の場合、時間方向の1次精度を達成し、無条件安定である。σ < 1 の場合には、拡散および速度項の重み付き和の最大値を含む時間刻み制約下で安定性が保証される。
• 本スキームは、熱方程式、濃度輸送、ナビエ＝ストークス型運動量方程式など、さまざまな形態の移流拡散方程式に適用可能である。
• 理論的解析は、L∞ および L1 範囲における事前推定を通じて妥当性が確認され、問題データに関する一般仮定のもとで収束性および頑健性が裏付けられる。