[論文レビュー] Numerical methods for the deterministic second moment equation of parabolic stochastic PDEs

Kirchner, Kristin|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 15被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、アフィン乗法的Lévyノイズを伴う放物型確率的PDEの2次モーメントに対する決定的変分方程式の直接数値解法を提案する。Petrov–Galerkin離散化をテンソル積空間上に適用し、先行研究よりも制限の少ない条件下で2次モーメント方程式の適切性を確立する。空間時間適合スケームの安定性および準最適収束性を証明し、時間方向に1次収束を示す数値実験により検証される。

ABSTRACT

Numerical methods for stochastic partial differential equations typically estimate moments of the solution from sampled paths. Instead, we shall directly target the deterministic equations satisfied by the first and second moments, as well as the covariance. In the first part, we focus on stochastic ordinary differential equations. For the canonical examples with additive noise (Ornstein-Uhlenbeck process) or multiplicative noise (geometric Brownian motion) we derive these deterministic equations in variational form and discuss their well-posedness in detail. Notably, the second moment equation in the multiplicative case is naturally posed on projective-injective tensor product spaces as trial-test spaces. We construct Petrov-Galerkin discretizations based on tensor product piecewise polynomials and analyze their stability and convergence in these natural norms. In the second part, we proceed with parabolic stochastic partial differential equations with affine multiplicative noise. We prove well-posedness of the deterministic variational problem for the second moment, improving an earlier result. We then propose conforming space-time Petrov-Galerkin discretizations, which we show to be stable and quasi-optimal. In both parts, the outcomes are illustrated by numerical examples.

研究の動機と目的

• 乗法的ノイズを伴う確率的ODEおよびPDEの解の1次および2次モーメントに対する決定的変分方程式を導出し、解析する。
• 小さなノイズ強度を仮定しないで、2次モーメント方程式の適切性を証明することで、先行研究の制限を克服する。
• 乗法的ノイズの場合の2次モーメント方程式に対して、安定かつ収束する空間時間Petrov–Galerkin離散化を構築する。
• 半群理論を用いて、スカラーODEから放物型確率的PDEへと結果を拡張し、アフィン乗法的Lévyノイズを伴う場合を扱う。テンソル積空間上で実行する。
• 数値実験を通じて、提案手法の収束性および安定性を検証する。

提案手法

• 関数解析的道具およびテンソル積空間を用いて、加法的および乗法的ウィーナーノイズを伴う確率的ODEの1次および2次モーメントの変分形式を導出する。
• トレース積の解析と、試行関数空間および検証関数空間としての射影的・射影的テンソル積空間を用いて、乗法的ケースにおける2次モーメント方程式の適切性を証明する。
• 空間および時間方向にテンソル積の区分的多項式を用い、乗法的ケースにおけるトレース積の特別な取り扱いを含むPetrov–Galerkin離散化を構築する。
• 乗法的ケースにおける安定性および一貫性を回復するために、後処理および修正されたトレース積定式化（例：iE⋆₂/Q）を導入する。
• C₀-半群を用いて、射影的テンソル積空間上で、アフィン乗法的Lévyノイズを伴う放物型SPDEへと枠組みを一般化する。
• 特にCN∗₂時間離散化に対して、空間時間適合スケームの準最適性および安定性を確立し、後処理を不要とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 乗法的ノイズを伴う放物型SPDEの2次モーメントは、小さなノイズ強度を仮定しないで、決定的変分形式によって解くことができるか？
• RQ2 乗法的ノイズの場合の2次モーメント方程式に対して、安定かつ収束する空間時間Petrov–Galerkin離散化をどのように構築できるか？
• RQ3 テンソル積空間、特に射影的・射影的およびヒルベルトテンソル積が、2次モーメント方程式の適切性および安定性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 時間離散化スキーム（例：iE⋆、CN∗₂）の違いは、2次モーメント問題における安定性および収束性にどのように影響するか？
• RQ5 数値フレームワークを確率的ODEからアフィン乗法的Lévyノイズを伴う放物型SPDEへと拡張できるか。その際、安定性および収束性を保持できるか？

主な発見

• 乗法的ノイズの2次モーメント方程式は、射影的・射影的テンソル積空間上で適切に定義され、CG = (108) < ∞ という条件のもとで適切性が保証される。これは先行研究における小さなノイズ仮定よりも制限が少ない。
• CN∗₂時間スキームに基づくPetrov–Galerkin離散化は、後処理を必要とせず、安定性および準最適収束性を達成する。これは低次のスキームとは対照的である。
• 数値実験により、時間離散化パラメータkについて、対角成分および総誤差の両方で1次収束が確認され、定理4.6と整合的である。
• 共役勾配法における対称化および前処理の使用により、テンソル積離散化から生じる大規模な離散系を効率的に解くことが可能である。
• C₀-半群を用いた射影的テンソル積空間上での枠組みにより、ベクトル値問題への一般化が可能となり、乗法的Lévyノイズを伴うSPDEの解析が可能になる。
• 提案手法はモンテカルロサンプルを避けて決定的モーメント方程式を直接解くため、圧縮空間時間スキームを用いることで、計算コストおよびメモリ使用量の削減が期待できる。