[論文レビュー] Numerical methods for the sign problem in Lattice Field Theory

Lorenzo Bongiovanni|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2016

Theoretical and Computational Physics参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本博士論文は、格子場理論における符号問題を克服するための3つの代表的アプローチ——複素ランジュバン力学、レフシェッツの歯車、およびLLRアルゴリズムを用いた状態密度法——を調査する。SU(3)ヤン・ミルズ理論にθ項を含む場合における複素ランジュバン力学の有効性を示し、トロイモデルにおいて歯車法と比較する。一方で、相対論的ボーズ気体における有限化学ポテンシャル下の状態密度法を応用し、解析的結果と良好な一致を示す。

ABSTRACT

The great majority of algorithms employed in the study of lattice field theory are based on Monte Carlo's importance sampling method, i.e. on probability interpretation of the Boltzmann weight. Unfortunately in many theories of interest one cannot associated a real and positive weight to every configuration, that is because their action is explicitly complex or because the weight is multiplied by some non positive term. In this cases one says that the theory on the lattice is affected by the sign problem. An outstanding example of sign problem preventing a quantum field theory to be studied, is QCD at finite chemical potential. Whenever the sign problem is present, standard Monte Carlo methods are problematic to apply and, in general, new approaches are needed to explore the phase diagram of the complex theory. Here we will review three of the main candidate methods to deal with the sign problem, namely complex Langevin dynamics, Lefschetz thimbles and density of states method. We will first study complex Langevin dynamics, combined with the gauge cooling method, on the one-dimensional Polyakov line model, and then we will apply it to pure gauge Yang-Mills theory with a topological theta-term. It follows a comparison between complex Langevin dynamics and the Lefschetz thimbles method on three toy models, which are the quartic model, the U(1) one-link model with a mu dependent determinant, and the SU(2) non abelian one-link model with complex beta parameter. Lastly, we introduce the density of state method, based on the LLR algorithm, and we will employ it in the study of the relativistic Bose gas at finite chemical potential.

研究の動機と目的

• 作用が複素数であるか重みが正定値でない場合に、標準的なモンテカルロ法が適用できない格子場理論における符号問題に対処すること。
• 符号問題を有する理論を取り扱うために、複素ランジュバン力学、レフシェッツの歯車、および状態密度法という3つの有望な数値的手法の評価と比較を行うこと。
• 特にSU(3)ヤン・ミルズ理論にθ項を含む非アーベルゲージ理論において、ゲージクーリングを用いた複素ランジュバン力学の頑健性と精度を検証すること。
• 相対論的ボーズ気体における有限化学ポテンシャル下の状態密度法をLLRアルゴリズムを用いて応用し、深刻な符号問題を有する系においても有効であることを示すこと。
• 四次モデル、μに依存する行列式を有するU(1)ワンリンクモデル、およびSU(2)ワンリンクモデルを含むベンチマークモデルにおいて、複素ランジュバンと歯車法の系統的比較を実施すること。

提案手法

• 複素ランジュバン力学は、場変数を複素化し、Fokker-Planck方程式に従って確率的に発展させる。非アーベル理論では、ゲージクーリングを用いて動的安定化を図る。
• レフシェッツの歯車は、複素化された多様体上での作用の臨界点を特定し、作用の虚部が一定となる多様体に沿って積分することで、実かつ正の測度を保証する。
• 状態密度法は、制約付きシミュレーションの系列からLLRアルゴリズムを用いて状態密度を計算し、高度に振動する積分から分配関数を再構成可能にする。
• 相対論的ボーズ気体では、制御パラメータに関する分配関数の対数微分をフィッティングすることで、LLRアルゴリズムを用いて自由エネルギー差を計算する。
• 複素ランジュバンシミュレーションでは、勾配フローを用いて位相的電荷をモニタリングし、位相的感受率を抽出し、収束性を検証する。
• 複素ランジュバンと歯車法の比較は、場の配置の分布および個々の歯車が経路積分に寄与する割合を分析することで実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 符号問題が深刻なSU(3)ヤン・ミルズ理論にθ項を含む場合、ゲージクーリングを用いた複素ランジュバン力学は信頼できる結果をもたらすか？
• RQ2 四次モデル、μに依存する行列式を有するU(1)ワンリンクモデル、および複素βを有するSU(2)ワンリンクモデルにおいて、複素ランジュバン力学の結果は、レフシェッツの歯車法による結果とどの程度一致するか？
• RQ3 LLRアルゴリズムに基づく状態密度法は、有限化学ポテンシャル下の相対論的ボーズ気体において、分配関数および自由エネルギーをどの程度正確に計算できるか？
• RQ4 ゲージクーリングは非アーベルゲージ理論における複素ランジュバン力学の安定化に果たす役割は何か？また、位相的電荷分布の収束性にどのように影響を与えるか？
• RQ5 異なるレフシェッツの歯車の寄与は経路積分にどのように影響するか？複素作用が存在する場合、どの臨界点が測度を支配するか？

主な発見

• ゲージクーリングを用いた複素ランジュバン力学は、θ項を含むSU(3)ヤン・ミルズ理論において、期待される位相的電荷分布を正確に再現し、虚数θの場合にHMC結果と一致することを示した。
• 実θおよび虚数θの両値において、位相的電荷分布の曲率が逆転しており、期待されるCP奇性の振る舞いを確認し、手法の整合性を裏付けた。
• 四次モデルでは、複素ランジュバン力学が場の配置の分布を正しく捉えており、安定な歯車がシミュレーションで観測された主要寄与と一致した。
• U(1)ワンリンクモデルでは、正しい寄与する歯車を同定でき、特にμに依存する行列式を有する場合に、複素ランジュバンの結果は歯車に基づく予測と一致した。
• 複素βを有するSU(2)ワンリンクモデルでは、ゲージクーリングを用いた複素ランジュバンシミュレーションが正しい分布に収束し、歯車解析により単一の安定した歯車が支配的であることが確認された。
• LLRアルゴリズムを用いた状態密度法は、相対論的ボーズ気体における自由エネルギー差を正確に計算でき、統計誤差の範囲内で解析的平均場理論の予測と一致した。