[論文レビュー] Numerical Modeling of Kondratyev's Long Waves Taking into Account Heredity

Dani I. Makarov, Roman Parovik|arXiv (Cornell University)|May 16, 2021

Material Science and Thermodynamics参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Gerasimov-Caputoの分数階微分と投資・イノベーションの調和関数を用いて記憶（遺伝性）を組み込んだ一般化されたKondratyevの長波動モデルを提案する。Adam-Bashforth-Moulton数値法を用いて、モデルは周期的限界循環とカオス的ダイナミクスの両方を示し、記憶効果が経済サイクルの複雑さと安定性に顕著に影響することを示している。

ABSTRACT

The paper proposes a new mathematical model of economic cycles and crises, which generalizes the well-known model of Dubovsky S.V. The novelty of the proposed model lies in taking into account the effect of heredity (memory), as well as the introduction of harmonic functions responsible for the arrival of investments in fixed assets and new management technologies in innovation. The mathematical description is given using the Gerasimov-Caputo fractional derivatives, which are studied within the framework of the theory of fractional calculus. The mathematical model was investigated using the numerical method of Adams-Bashforth-Moulton (ABM), phase trajectories were constructed. It is shown that the proposed mathematical model can have both regular and chaotic regimes.

研究の動機と目的

• 分数階微積分を用いて記憶効果を組み込んだことで、Dubovskyの古典的Kondratyev長波動モデルを拡張すること。
• 調和関数を用いて投資流入およびイノベーション駆動型管理技術の影響をモデル化すること。
• より高い精度と安定性を備えた一般化された分数階モデルを解くための堅牢な数値スキーム（ABM）の開発と検証すること。
• 記憶的効果の下で経済ダイナミクスに周期的およびカオス的レジームの共存が生じるかを調査すること。
• 記憶依存的行動を示す長期経済サイクルを数学的に厳密に分析するフレームワークを提供すること。

提案手法

• 経済変数における記憶効果を表すために、Gerasimov-Caputo微分（階数α₁およびα₂）を用いた分数階微分方程式系を定式化する。
• 周期的投資およびイノベーション技術入力をモデル化するため、調和型駆動項（δ₁cos(ω₁t), δ₂cos(ω₂t)）を導入する。
• 数値解法として、Adam-Bashforth-Moulton（ABM）予測補正法を適用し、整数階の場合には2次精度、分数階の場合には階数µ = 1.8を達成する。
• 数値誤差の推定と収束率の検証のために、二重グリッド精錬法（Rungeの法則）を用いる。
• 数値解を用いて位相軌道を構築し、限界循環やカオス的アトラクタを含むダイナミクスの挙動を可視化する。
• 特殊ケース（α₁ = α₂ = 1, δ₁ = δ₂ = 0）として古典的Dubovskyモデルの再現に成功することで、モデルの妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数階微分による記憶効果が、古典的モデルと比較してKondratyev長波動のダイナミクスにどのように影響を与えるか？
• RQ2 周期的投資およびイノベーション技術入力が、周期的とカオス的経済サイクルの出現に与える影響は何か？
• RQ3 提案されたABM法は、高い精度と安定性を備えて一般化された分数階モデルを信頼性高くシミュレートできるか？
• RQ4 どのようなパrameter条件下で、モデルが周期的限界循環のレジームからカオス的ダイナミクスに遷移するか？
• RQ5 分数階数α₁およびα₂の異なる場合に、ABM法の収束率および誤差推定値はどのように振る舞うか？

主な発見

• 一般化モデルは、特殊ケース（α₁ = α₂ = 1, δ₁ = δ₂ = 0）として古典的Dubovskyモデルを正確に再現でき、数値的手法の妥当性が裏付けられた。
• 古典的モデル（α₁ = α₂ = 1）では、N = 320における収束次数px ≈ 2.04およびpy ≈ 2.00を達成し、2次精度が確認された。
• 分数階ケース（α₁ = 0.9, α₂ = 0.8）では、収束次数µ = 1.8を達成し、N = 320におけるpx ≈ 1.81およびpy ≈ 1.79を示し、理論的期待と一致した。
• 位相軌道の結果から、記憶効果と調和入力を組み込むことで、単純な周期的軌道とは異なる複雑な限界循環が生成されることが明らかになった。
• 特定のパrameter設定（例：δ₁ = δ₂ = 1, ω₁ = ω₂ = 0.5）ではカオス的アトラクタが出現し、モデルが不規則で周期的でない経済ダイナミクスを捉える能力を有することが示された。
• モデルは周期的およびカオス的両レジームを示しており、記憶効果とイノベーション入力が、決定論的サイクルを越えた複雑な経済行動を引き起こす可能性を示している。