[論文レビュー] Numerical Optimization Algorithm of Wavefront Phase Retrieval from Multiple Measurements

Ji Li, Tie Zhou|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2016

Advanced X-ray Imaging Techniques参考文献 31被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、最大尤度（MLP）および最小二乗（LS）モデルに基づく非凸目的関数を用いて、複数の強度測定値から波面位相を再構成するための数値最適化フレームワークを提案する。複素変数最適化技術を開発し、LSがHessian固有値のクラスタリングが良好であるためMLPを上回ることを示し、シミュレーションにおいてLBFGSが最も効率的かつ頑健であることが判明した。

ABSTRACT

Wavefront phase retrieval from a set of intensity measurements can be formulated as an optimization problem. Two nonconvex objective models (MLP and its variants LS) based on maximum likelihood estimation are investigated. We develop numerical optimization algorithms for real-valued function of complex variables and apply them to solve the wavefront phase retrieval problem efficiently. Numerical simulation is given with application to three wavefront phase retrieval problems. LS model shows better numerical performances than MLP model. An explanation for this is that the distribution of the eigenvalues of Hessian matrix of LS model is more clustered than MLP model. LBFGS shows more robust performance and takes fewer calculations than other line search methods.

研究の動機と目的

• 適応光学および天文学における波面位相再構成の不適切な定式化と一意でない問題に対処する。
• 位相多様性を用いた複数の強度測定値に基づき、位相再構成を非凸最適化問題として定式化する。
• 実数値関数としての複素変数のための最適化アルゴリズムを特許的に開発し、位相再構成問題を解く。
• 収束性と頑健性の観点から、最大尤度（MLP）と最小二乗（LS）モデルの性能を比較する。
• さまざまなラインサーチ手法、特にLBFGSの効率性と安定性を、最適化問題の解法において評価する。

提案手法

• ポアソン尤度推定に基づくMLPと、ガウス近似としてのLSの2つの非凸目的関数を定式化する。
• 複素解析を用いて両モデルの勾配およびヘッセ行列作用素を導出し、複素数領域における効率的な最適化を可能にする。
• 実数値関数としての複素変数のためのラインサーチ手法を実装し、直接的に複素数パラメータ上で動作する。
• LBFGSアルゴリズムを用いて目的関数を最小化し、限られたメモリを用いたヘッセ行列の近似を活用してスケーラビリティを確保する。
• 離散フーリエ変換を用いて波面強度測定値をモデル化し、前方演算子F(u)を定義する。
• 反復更新におけるゼロ除算を回避するため、ヘッセ行列の計算を安定化させるために微小な正則化パラメータε²を組み込む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 波面位相再構成において、MLPとLSモデルの数値的性能および収束速度はどのように比較されるか？
• RQ2 ヘッセ行列の固有値分布は、位相再構成アルゴリズムの収束行動にどのような影響を与えるか？
• RQ3 ラインサーチ手法としてのLBFGSと他の手法のうち、どの手法が本番の文脈で優れた頑健性と計算効率を示すか？
• RQ4 LSモデルは、より統計的に妥当なMLPモデルの効果的で計算効率の良い近似として機能できるか？
• RQ5 複数の測定値（位相多様性）の使用は、位相再構成解の一意性と安定性をどのように向上させるか？

主な発見

• LSモデルは数値シミュレーションにおいて一貫してMLPモデルを上回り、より速い収束と高い精度を達成した。
• LSモデルのヘッセ行列は、MLPと比較して固有値の分布がより凝集的であることが判明し、これにより収束性が優れている。
• LBFGSは他のラインサーチ手法と比較して最も頑健な性能を示し、反復回数と関数評価回数が少なかった。
• LSモデルはMLPモデルよりも計算的に効率的でありながら、高い再構成忠実度を維持した。
• 複数の測定値（位相多様性）の使用により、単一の強度測定値に内在する一意でない問題を軽減し、波面位相の一意的回復が可能になった。
• 複素数関数に対する導出した勾配およびヘッセ行列作用素は、複素数領域における正確かつ効率的な最適化に不可欠である。