[論文レビュー] Numerical radius inequalities concerning with algebraic norms

Ali Zamani, Mohammad Sal Moslehian+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2019

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、任意の自己随伴代数ノルム $ N $ を用いて一般化された数値半径 $ w_N(T) $ を導入し、古典的数値半径不等式を拡張する。$ w_N(T) $ に対する鋭い上界および下界を導出し、作用素の積に関する新しい不等式を確立するとともに、$ \Omega(T) $ と呼ばれる新規ノルムを用いて、キッタネフおよびドラゴミールの不等式を改良する。このアプローチにより、$ \|TT^* + T^*T\| $ および $ w(T^2) $ を含むより鋭い評価が得られる。主たる貢献は、既存の数値半径推定値を統一的かつ一般化する枠組みを提供することにある。

ABSTRACT

We give an expression for a generalized numerical radius of Hilbert space operators and then apply it to obtain upper and lower bounds for the generalized numerical radius. We also establish some generalized numerical radius inequalities involving the product of two operators. Applications of our inequalities are also provided.

研究の動機と目的

• 任意の自己随伴代数ノルムを用いた古典的数値半径の一般化を目的とする。
• 一般化された数値半径 $ w_N(T) $ に対する新しい上界および下界を導出すること。
• 二つの作用素の積に関する不等式を $ w_N(T) $ を用いて確立すること。
• 特にキッタネフおよびドラゴミールの不等式を含む、既存の数値半径不等式を改良すること。
• 結果をヒルバート＝シュミット作用素に適用し、トレースに基づく不等式を導出すること。

提案手法

• 自己随伴代数ノルム $ N $ を用いて、一般化された数値半径 $ w_N(T) = \sup_{\theta \in \mathbb{R}} N(\operatorname{Re}(e^{i\theta}T)) $ を定義する。
• 作用素のカルテシアン分解 $ T = \operatorname{Re}(T) + i\operatorname{Im}(T) $ を用い、$ w_N(T) $ を $ \operatorname{Re}(T) $ と $ \operatorname{Im}(T) $ の実係数線形結合の上界として表現する。
• コーシー＝シュワルツの不等式を適用し、$ w_N(T) $ を $ N(\operatorname{Re}(e^{i\varphi}T)) $ と $ N(\operatorname{Im}(e^{i\varphi}T)) $ の関数として評価し、これらの成分の $ \ell^2 $-ノルムの $ \varphi \in \mathbb{R} $ における最小値を導く。
• 新しいノルム $ \Omega(T) = \sup_{|\zeta|^2 + |\eta|^2 \leq 1} \|\zeta T + \eta T^*\| $ を定義し、これは自己随伴的かつ代数的である。このノルムを用いて古典的不等式を改良する。
• 恒等式 $ w_{\Omega}(T) = \sqrt{2} w(T) $ を確立し、一般化された数値半径と古典的数値半径の関係を明示する。
• ヒルバート＝シュミットノルム $ \|\cdot\|_2 $ にこの枠組みを適用し、$ w_2(T) $ に関するトレースに基づく不等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の自己随伴代数ノルムを用いて、古典的数値半径をどのように一般化できるか？
• RQ2 一般化された数値半径 $ w_N(T) $ に対する最も鋭い上界および下界は何か？
• RQ3 この一般化枠組みを用いて、二つの作用素の積に関する新しい不等式を導出できるか？
• RQ4 新規ノルム $ \Omega(T) $ は、キッタネフおよびドラゴミールの不等式をどのように改良するか？
• RQ5 この枠組みは、ヒルバート＝シュミット作用素およびトレースに基づく恒等式にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 任意の自己随伴代数ノルム $ N $ に対して、$ \frac{1}{2}N(T) \leq w_N(T) \leq N(T) $ が成り立つ。
• 不等式 $ w_N(T) \leq \inf_{\varphi \in \mathbb{R}} \sqrt{N^2(\operatorname{Re}(e^{i\varphi}T)) + N^2(\operatorname{Im}(e^{i\varphi}T))} $ は鋭い上界を提供する。
• ノルム $ \Omega(T) $ は、$ \Omega(T) \leq \sqrt{\|TT^* + T^*T\|} $ および $ \Omega(T) \leq \sqrt{\|T\|^2 + w(T^2)} $ を満たし、既存の境界を改良する。
• 恒等式 $ w_{\Omega}(T) = \sqrt{2} w(T) $ から、不等式 $ w(T) \leq \frac{\sqrt{2}}{2} \Omega(T) \leq \frac{\sqrt{2}}{2} \min\left\{ \sqrt{\|TT^* + T^*T\|}, \sqrt{\|T\|^2 + w(T^2)} \right\} $ が導かれ、キッタネフおよびドラゴミールの不等式の両方を改良する。
• 正規作用素では $ \Omega(T) = \sqrt{2} \|T\| $ が成り立ち、平方ゼロ作用素では $ w_{\Omega}(T) = \frac{\sqrt{2}}{2} \Omega(T) $ となる。これは極端な場合における鋭さを確認する。
• ヒルバート＝シュミット作用素では、恒等式 $ w_2(T) = \frac{1}{2}\|T\|_2^2 + \frac{1}{2}|\operatorname{tr}(T^2)| $ が成り立ち、トレースに基づく不等式が導出可能である。特に、$ \|TT^* + T^*T\|_2 + \sup_{\varphi} |\operatorname{tr}((e^{i\varphi}T)^2 + (e^{-i\varphi}T^*)^2)| \leq 2(\|T\|_2^2 + |\operatorname{tr}(T^2)|) $ が成立する。