[論文レビュー] Numerical simulation for fractional Jaulent-Miodek equation associated with energy-dependent Schrodinger potential using two novel techniques

P. Veeresha, D. G. Prakasha+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2018

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 33被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、エネルギー依存型シュレーディンガーポテンシャルを伴う時間分数階Jaulent-Miodek（JM）方程式を解くために、2つの新しい数値技法—結合分数階低減微分変換法（CFRDTM）とqホモトピー解析変換法（q-HATM）—を提案する。q-HATMは、数値シミュレーションにおいて収束が速く、絶対誤差が小さいことから、CFRDTMに比べて計算効率と精度に優れている。これは、分数階非線形結合系に対して有効であることを確認する。

ABSTRACT

In present work, we investigate the numerical solution of time-fractional Jaulent Miodek (JM) equations with the aid of two novel techniques namely, coupled fractional reduced differential transform method (CFRDTM) and q-homotopy analysis transform method (q-HATM). The obtained solutions are presented in a series form, which are converges rapidly. In order to verify the proposed techniques are reliable and accurate, the numerical simulations have been conducted in terms of absolute error. The obtained solutions are presented graphically to ensure the applicability and validity of the considered algorithms. The results of the study reveal that, the q-HATM is computationally very effective and accurate as compared to CFRDTM to analyse fractional nonlinear coupled Jaulent Miodek equations.

研究の動機と目的

• 時間分数階Jaulent-Miodek方程式にエネルギー依存型シュレーディンガーポテンシャルを含む場合に、2つの新しい数値技法を開発・適用する。
• 数値シミュレーションを通じて、提案手法の精度と収束特性を評価する。
• 分数階非線形結合系を解く際のCFRDTMとq-HATMの計算効率と信頼性を比較する。
• 図解的および誤差解析を通じて、手法の適用可能性と有効性を検証する。

提案手法

• 結合分数階低減微分変換法（CFRDTM）を用いて、時間分数階JM方程式の近似解析解（級数形）を導出する。
• qホモトピー解析変換法（q-HATM）は、ホモトピー解析法とラプラス変換を組み合わせ、補助収束制御パラメータを有する級数解を生成する。
• 両手法は、エネルギー依存型ポテンシャルを有する非線形および分数階性を有するJaulent-Miodek系を扱えるように設計されている。
• 解は反復的に計算され、数値結果と誤差解析によって、収束が著しく速いことが示された。
• 絶対誤差を用いて、得られた解の精度を定量的指標として検証する。
• 解の図解的表現を用いて、提案アルゴリズムの妥当性と適用可能性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CFRDTMとq-HATMは、エネルギー依存型ポテンシャルを有する時間分数階Jaulent-Miodek方程式の解をどの程度正確に近似できるか？
• RQ2 2つの提案手法は、分数階非線形結合系を解く際、収束特性と計算効率においてどのように異なるか？
• RQ3 q-HATMで得られた解は、CFRDTMの解と比較して、精度と誤差の大きさにおいてどのように異なるか？
• RQ4 数値シミュレーションは、提案手法の信頼性と妥当性をどの程度確認できるか？
• RQ5 提案手法は、エネルギー依存型ポテンシャルを有する分数階非線形方程式の複雑さを効果的に扱えるか？

主な発見

• q-HATMは、時間分数階Jaulent-Miodek方程式を解く際、CFRDTMに比べて収束が速く、精度が優れている。
• q-HATMを用いて得られた絶対誤差値は、CFRDTMのそれよりも顕著に低く、その高い精度が裏付けられている。
• 両手法で得られた解は急速に収束しており、強力な数値的安定性と信頼性を示している。
• 解の図解的表現から、異なる分数階数においても、提案アルゴリズムの適用可能性と妥当性が確認された。
• q-HATMは、分数階非線形結合Jaulent-Miodek方程式の解析において、CFRDTMよりも計算的により効果的である。
• 本研究では、両手法が複雑な分数階偏微分方程式に適していることが確認されたが、実用的にはq-HATMがより効率的かつ正確であることが示された。