[論文レビュー] Numerical simulation of BSDEs using empirical regression methods: theory and practice

Emmanuel Gobet, Jean-Philippe Lemor|ArXiv.org|Jun 27, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 16被引用数 28

ひとこと要約

本稿は、基底関数における経験的回帰を用いて一般化された後向き stochastic 微分方程式（BSDE）および反射型 BSDE を解くための新しい数値的アルゴリズムを提案する。明示的な誤差バウンドと効率的なモンテカルロシミュレーションを備え、次元が10に達するまで高次元の数値解を得ることができ、計算複雑性が競争力を持っており、従来の手法に比べて柔軟性とモデルに依存しない設計を実現している。

ABSTRACT

This article deals with the numerical resolution of backward stochastic differential equations. Firstly, we consider a rather general case where the filtration is generated by a Brownian motion and a Poisson random measure. We provide a simulation algorithm based on iterative regressions on function bases, which coefficients are evaluated using Monte Carlo simulations. We state fully explicit error bounds. Secondly, restricting to the case of a Brownian filtration, we consider reflected BSDEs and adapt the previous algorithm to that situation. The complexity of the algorithm is very competitive and allows us to treat numerical results in dimension 10.

研究の動機と目的

• ブラウン運動およびポアソン確率測度によって駆動される一般化された BSDE を解くための柔軟で、モデルに依存しない数値スキームの開発。
• 反射バリアを備えた反射型 BSDE にこの手法を拡張し、高次元におけるアメリカン型オプションの価格付けを可能にする。
• 時間刻み h、基底関数の数、シミュレーションサイズ M、および切り捨て閾値 R に依存する、明示的かつ完全に計算可能な誤差バウンドの導出。
• すべての回帰ステップに同一のモンテカルロシミュレーションセットを用いることで、計算コストを低減。従来の手法が O(M/h) のシミュレーションを要するのに対し、本手法では不要。
• 分布に依存しない回帰技術に依拠することで、前向き過程 X の特定の性質に依存しない、堅牢性と一般性を確保する。

提案手法

• 時間刻み h を用いた時間グリッドによる BSDE の離散化により、後向き動的計画法問題に変換する。
• 有限次元の関数基底（例：ハイパーキューブの指標関数や多項式）における経験的回帰を用いて、動的計画法方程式内の条件付き期待値を近似する。
• 前向き過程 X のモンテカルロシミュレーションを用いて回帰係数を推定し、M 個の経路を一度だけ全時間ステップにわたってシミュレートする。
• 正則化またはペナルティ技術（例：φn を通じて）を用いて回帰を安定化させ、反射型 BSDE における反射を扱う。
• 安定性を確保するための切り捨て閾値 R を用いるが、実際の誤差にほとんど影響を与えない。
• 最小二乗法による最小化を用いて、時系列を後向きに逐次処理し、各時間ステップで Y、Z、およびドライバー f の推定値を更新する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジャンプ拡散および一般ドライバー関数を伴う高次元の一般化された BSDE を解くための、数値的に安定的かつ効率的なアルゴリズムをどのように設計できるか？
• RQ2 回帰ベースの BSDE 解法に対して、明示的な誤差バウンドを導出できるか。そのバウンドは時間刻み h、基底関数の数、シミュレーションサイズ M、および切り捨て R にどのように依存するか？
• RQ3 同一のシミュレーションセットを全時間ステップにわたって再利用することで、計算コストを低減できるか。その影響は精度に及ぼされるか？
• RQ4 回帰ベースのアプローチをどのように反射型 BSDE に適応できるか。また、max 法、正則化法、ペナルティ法といった代替定式化の間で、収束性および安定性にどのような差が生じるか？
• RQ5 本手法がどの程度モデルに依存せず、前向き過程 X の特定の性質に依存しない形で維持できるか？

主な発見

• 本手法は、10次元のペイオフに対して、参考のPDE結果（4.896）に近い4.876の価格を正確に得ており、10次元のアメリカン・オプションに対しても高精度な数値解を得ている。
• 次元 d=1 の場合、PDEによる参考価格4.23 および マリヤン・メソッドによる4.21 を再現しており、N および δ の増加に伴いバイアスが減少する。
• ハイパーキューブ基底と各ハイパーキューブ上での線形多項式を用いた max 法は、高次元において安定した結果をもたらし、M=65,536 のシミュレーションで15秒で解を得ている。
• 本手法では、すべての回帰ステップに同一の M 個のシミュレーションセットを用いるため、従来の O(M/h) のシミュレーションを要する手法に比べ、計算コストを顕著に低減している。
• h、基底関数の数、M、R に依存する明示的な誤差バウンドが導出されており、望みの精度を達成するための最適なパrameter選定が可能である。
• 本アプローチは、分布に依存しない回帰技術に依拠しているため、頑健性と柔軟性を維持しており、楕円性やマリヤン・カウルスの仮定を必要としない広範な前向き過程クラスに適用可能である。