[論文レビュー] Numerical simulation of solutions and moments of the smoluchowski coagulation equation

Dustin D. Keck, David M. Bortz|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2013

Advanced Mathematical Modeling in Engineering被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、有限要素法（FEM）と有限体積法（FLFM）を用いたスモリュッチョフスコagulation方程式の数値解法を比較し、解のモーメントの近似精度と計算コストの観点から検討している。FEMは、ゆっくりと凝集する系において、顕著に低い計算コストで優れた精度を示す一方、FLFMは高速凝集においてゼロ次モーメントではわずかに精度が高く、常に第一モーメントにおいてより高い精度を示す。両手法とも第二階収束を示す。

ABSTRACT

Researchers have employed variations of the Smoluchowski coagulation equation to model a wide variety of both organic and inorganic phenomena and with relatively few known analytical solutions, numerical solutions play an important role in studying this equation. In this article, we consider numerical approximations, focusing on how different discretization schemes impact the accuracy of approximate solution moments. Pursuing the eventual goal of comparing simulated solutions to experimental data, we must carefully choose the numerical method most appropriate to the type of data we attain. Within this context, we compare and contrast the accuracy and computational cost of a finite element approach and a finite volume-based scheme. Our study provides theoretical and numerical evidence that the finite element approach achieves much more accuracy when the system aggregates slowly, and it does so with much less computation cost. Conversely, the finite volume method is slightly more accurate approximating the zeroth moment when the system aggregates quickly and is much more accurate approximating the first moment in general. Lastly, our study also provides numerical evidence that the finite element method (conventionally considered first order) actually belongs to a class of discontinuous Galerkin methods that exhibit superconvergence, or second order in our case.

研究の動機と目的

• スモリュッチョフスコagulation方程式を解くための有限要素法（FEM）と有限体積法（FLFM）の精度と計算コストを比較すること。
• 離散化スキームが、凝集ダイナミクスの変動に応じて解のモーメント（特にゼロ次および第一モーメント）の近似に与える影響を評価すること。
• 切り捨てパラメータ $x_{\text{max}}$ とグリッド間隔 $\Delta x$ が、両手法の数値的精度に与える影響を調査すること。
• Coulterカウンター（ゼロ次モーメント）やフローサイトメトリー（第一モーメント）の実験データに応じた手法選択を支援すること。
• FEMの収束速度およびスーパー収束行動に関する理論的・数値的証拠を提供すること。

提案手法

• 本研究では、BanksとKappelの先行研究に基づく有限要素法（FEM）を用い、AcklehとFitzpatrickによる拡張を適用して凝集方程式の空間離散化を実施している。
• 比較のためのベンチマークとして、$L^1$で第二階収束を示すことで知られる、FilbetとLaurençotのフラックス法（FLFM）という有限体積型スキームを用いている。
• 数値解は、定数核 $K_A(x,y) \equiv 1$ と乗法的核 $K_A(x,y) = xy$ の2つの凝集カーネルに対して計算されている。
• FEMおよびFLFMの精度は、細かいグリッドによる参照解との比較および既知のモーメントとの比較によって評価されている。
• グリッドの細分化を実施し、$\Delta x$ と $x_{\text{max}}$ を変化させることで感度および収束特性を評価している。
• モーメントの近似は、$M_i(f; x_1,x_2) = \int_{x_1}^{x_2} x^i f(t,x) \, dx$ により計算されており、$f$ は粒子サイズ分布、$g = x f$ は体積分布を表す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 FEMとFLFMは、スモリュッチョフスコagulation方程式の完全解を近似する際に、精度においてどのように比較されるか？
• RQ2 遅い凝集および速い凝集のダイナミクス下で、ゼロ次モーメントおよび第一モーメントの近似において、どちらの手法がより正確か？
• RQ3 実験データが小さな体積範囲に限定される場合、切り捨てパラメータ $x_{\text{max}}$ が各手法の精度に与える影響は何か？
• RQ4 数値的証拠が示唆するように、FEMは従来第一階と見なされてきたが、スーパー収束を示す可能性があるか？
• RQ5 同一の精度水準を満たす場合、どちらの手法がより高い計算効率を示すか？

主な発見

• FEMは $L^1[\mathbf{X}]$ で第二階収束を示し、第一階と一般的に見なされるが、スーパー収束を示すという仮説を裏付ける。
• ゆっくりと凝集する系（$K_A(x,y) \equiv 1$）において、FEMはFLFMと同等の解の精度を達成するが、計算コストは著しく低い。
• 遅い凝集において、FEMはゼロ次モーメントをFLFMよりもより正確に近似するが、第一モーメントではFLFMがわずかに精度が良い。
• 高速凝集（$K_A(x,y) = xy$）において、FLFMはすべてのケースで第一モーメントの近似においてより正確であり、ゼロ次モーメントにおいてもわずかに精度が良い。
• FEMはFLFMよりも $x_{\text{max}}$ の選択に対して感受性が低く、特に乗法的核ではその傾向が顕著で、実験データの上位検出限界が制限される状況でもより頑健である。
• 同等の精度を達成する場合、FEMは800グリッド点で、FLFMの100グリッド点よりも顕著な計算コストの削減を実現する。