[論文レビュー] Numerical solution of fractional order diffusion problems with Neumann boundary conditions

Béla J. Szekeres, Ferenc Izsák|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2014

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、シフトされたGrünwald–Letnikov近似を用いて、1次元の分数拡散方程式のノイマン境界条件を解くための有限差分法を提示する。初期データを同次的ノイマン条件を満たすように拡張するための数学的枠組みを構築し、その結果得られる問題の適切性（well-posedness）を証明し、分数階微分作用素の閉形式行列表現を有する陰的エイラースキームの収束性を示す。

ABSTRACT

A finite difference numerical method is investigated for fractional order diffusion problems in one space dimension. For this, a mathematical model is developed to incorporate homogeneous Dirichlet and Neumann type boundary conditions. The models are based on an appropriate extension of the initial values. The well-posedness of the obtained initial value problems is proved and it is pointed out that the extensions are compatible with the above boundary conditions. Accordingly, a finite difference scheme is constructed for the Neumann problem using the shifted Grünwald--Letnikov approximation of the fractional order derivatives, which is based on infinite many basis points. The corresponding matrix is expressed in a closed form and the convergence of an appropriate implicit Euler scheme is proved.

研究の動機と目的

• 分数拡散問題における同次的ノイマン境界条件およびディリクレ境界条件を数学的に整合性のある方法でモデル化すること。
• 分数階微分における非局所性の課題に取り組み、計算領域の外側の値を必要とする点を扱うこと。
• シフトされたGrünwald–Letnikov公式を用いて、ノイマン問題に対する安定的かつ収束性を示す有限差分スキームを構築すること。
• 拡張された初期データと境界条件によって形成される初期値問題の適切性を証明すること。
• ノイマン条件を伴う分数拡散方程式の陰的エイラー離散化に対する包括的な誤差解析を提供すること。

提案手法

• 初期データを周期性と対称性を用いて全実数直線に拡張することで、ノイマン境界条件を満たす数学的モデルを構築する。
• Rieszの分数階微分を実数直線上のリーマン–リウビル積分と微分を用いて定義し、非局所作用素の一貫性のある取り扱いを可能にする。
• 分数階微分の離散化に、二項展開から得られる係数を有するシフトされたGrünwald–Letnikov近似を適用する。
• 得られた離散的作用素を閉形式の行列表現として表現し、効率的な数値実装を可能にする。
• 時間方向に陰的エイラースキームを適用し、エネルギー推定とスペクトル解析を用いて収束性を厳密に証明する。
• von Neumann解析と三角関数恒等式を用いて増幅因子を分析することで、安定性と収束性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非局所微分を伴う分数拡散方程式に、同次的ノイマン境界条件を一貫して組み込む方法は何か？
• RQ2 分数階微分の文脈において、ノイマン境界条件と整合性を持つ初期データの拡張はどのように定義されるか？
• RQ3 シフトされたGrünwald–Letnikov公式に基づく有限差分スキームが、ノイマン問題に対して収束性を示せるか？
• RQ4 離散的分数階微分作用素の固有値構造は何か？ そして、安定性にどのように影響するか？
• RQ5 ノイマン条件を伴う分数拡散方程式に対して、陰的エイラースキームの収束次数はどの程度か？

主な発見

• 実数直線への初期データの提案された拡張は、同次的ノイマン境界条件と整合性を保ち、適切な初期値問題の定義を可能にする。
• 離散的分数階微分作用素は閉形式の行列表現として表現され、効率的な数値的解法を可能にする。
• ノイマン問題に適用された陰的エイラースキームは、時間方向に1次精度で、無条件収束性が証明されている。
• von Neumann安定性解析により、提示された定式化のもとで、スキームが無条件安定であることが確認された。
• 離散的作用素の固有値が実数かつ非正であることが示され、安定性および収束性の結果を支持する。
• スペクトル解析とエネルギー推定により、空間および時間方向で最適な収束レートが達成されていることが確認された。