[論文レビュー] Numerical Solution of Stochastic Partial Differential Equations with Correlated Noise

Dirk Blömker, Minoo Kamrani|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、スペクトルガレルキン空間離散化とJentzen & Kloedenによる時間積分スキームを用いて、相関性があり非対角の色付きノイズを有する確率的偏微分方程式（SPDEs）の数値スキームを提示する。数値解の一様有界性を仮定したもとで、一様位相におけるパスごとの収束性を確立し、空間では $ N^{-rac{1}{2}} $、時間では $ ( abla t)^{rac{1}{4}} $ の収束速度を示す。これは、一般の非線形性および相関構造を持つノイズへと先行研究を拡張したものである。

ABSTRACT

In this paper we investigate the numerical solution of stochastic partial differential equations (SPDEs) for a wider class of stochastic equations. We focus on non-diagonal colored noise instead of the usual space-time white noise. By applying a spectral Galerkin method for spatial discretization and a numerical scheme in time introduced by Jentzen $\&$ Kloeden, we obtain the rate of path-wise convergence in the uniform topology. The main assumptions are either uniform bounds on the spectral Galerkin approximation or uniform bounds on the numerical data. Numerical examples illustrate the theoretically predicted convergence rate.

研究の動機と目的

• 空間的・時間的白色ノイズや非相関ブラウン運動にとどまらない、色付きノイズを有するSPDEの数値解析を拡張すること。
• 非対角的かつ相関のあるノイズを有するSPDEに対して、一様位相におけるパスごとの収束性を確立すること。
• スペクトルガレルキン法と時間積分スキームを組み合わせた空間時間離散化の収束速度を導出すること。
• 局所リプシッツ連続な非線形性および多項式成長を有する条件下で、理論的結果を数値例により検証すること。

提案手法

• ラプラシアン作用素の固有関数を用いたスペクトルガレルキン法による空間離散化。
• 確率微分方程式の数値スキームとしてJentzen & Kloedenが提唱した手法に基づく時間離散化。
• 誤差伝播の制御のため、数値解またはガレルキン近似の上での一様有界性の仮定。
• エネルギー型事前推定を用いて、スペクトル法における一様有界性の妥当性を検証。
• 線形作用素 $ A $ と可換でない共分散作用素を用いて相関ノイズを組み込む。
• 有限次元近似における相関ブラウン運動を生成するためにコレスキー分解を実装。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一様位相において、相関性があり非対角のノイズを有するSPDEの数値解の収束速度は何か？
• RQ2 局所リプシッツ連続な非線形性を有するSPDEに対して、数値近似の上での一様有界性はどのように確立できるか？
• RQ3 スペクトルガレルキン法と時間離散化を組み合わせることで、色付きノイズを有するSPDEに対してパスごとの収束性を達成できるか？
• RQ4 共分散作用素と線形作用素が可換でない場合、収束挙動にどのような影響を与えるか？
• RQ5 数値実験は、実際のところ理論的収束速度をどのように確認するか？

主な発見

• 本稿では、相関ノイズを有するSPDEの数値解について、一様位相におけるパスごとの収束性を確立した。
• 一様有界性の仮定のもとで、空間収束速度は $ O(N^{-rac{1}{2}}) $、時間収束速度は $ O(( abla t)^{rac{1}{4}}) $ である。
• 数値例により、空間離散化パラメータ $ N $ における理論的収束速度 $ \frac{1}{2} $ が図3で確認された。
• 一様有界性の仮定により、局所リプシッツ連続性および多項式成長を有する非線形性の取り扱いが可能となった。
• 本手法は、バーガース方程式に限らず、高次元領域や異なる境界条件を有する一般のSPDEに適用可能である。
• コレスキー分解を用いた実装により、相関ブラウン運動が正確に生成され、ノイズ構造の高精度なシミュレーションが可能となった。