[論文レビュー] Numerical solution of variable order fractional differential equations

John T. Katsikadelis|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2018

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 12被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、Caputo型変数順位（VO）分数マター微分方程式（FDEs）を解くための数値的手法を提示する。変数順位導関数の簡単な近似を導入し、線形および非線形VO-FDEs（係数が変化する場合を含む）に適用可能な単純で計算効率の良いアルゴリズムを構築した。VO振動子およびDuffing方程式の数値解を用いて、高い精度と有効性を示した。

ABSTRACT

A method for the numerical solution of variable order (VO) fractional differential equations (FDE) is presented. The method applies to linear as well as to nonlinear VO-FDEs. The Caputo type VO fractional derivative is employed. First, an simple expression, which approximates the VO fractional derivative, is established and then a procedure based on this approximation is developed to solve VO-FDEs linear and nonlinear, both explicit and implicit. VO-FDEs with variable coefficients are also treated. The method is illustrated by solving the second order VO-FDE describing the response of the VO fractional oscillator, linear and nonlinear (Duffing). However, it can be straightforwardly extended to higher order VO-FDEs. The presented method, in addition to its effectiveness, is simple to implement and program on a computer. The obtained results validate the efficiency and accuracy of the developed method

研究の動機と目的

• 変数順位分数マター微分方程式（VO-FDEs）を解く信頼性があり効率的な数値的手法を開発すること。
• 定数順位FDEsの既存の数値技術を、変数順位導関数に対応させる拡張を行うこと。
• 線形および非線形VO-FDEs（暗黙的および陽的形を含む）を処理すること。
• VO-FDEsに変数係数を統合する同一フレームワークを構築すること。
• プログラミングに適した実装が容易な単純なアルゴリズムを提供すること。

提案手法

• Caputo型変数順位分数マター導関数のための新しい解析的近似を導出する。
• 近似により、コロケーションまたは離散化を用いてVO-FDEsを代数方程式の連立に変換可能となる。
• 解およびその導関数を表すために、区分的多項式近似を採用する。
• ステップバイステップの数値手順によりアルゴリズムを適用し、安定性と収束性を維持する。
• 高階のVO-FDEsを、1階方程式の連立に還元することで、一般化して扱う。
• 標準的な数値ルーチンを用いて実装することで、プログラミングの容易さと計算効率を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Caputo的観点での変数順位分数マター導関数に対して、一貫性があり高精度な近似を構築する方法は何か？
• RQ2 線形および非線形VO-FDEs（係数が変化する場合を含む）を効果的に解くための数値手順は何か？
• RQ3 提案手法は、2階系を含むさまざまなタイプのVO-FDEsにおいて、高い精度と安定性を維持できるか？
• RQ4 VO-FDEsに対する既存手法と比較して、性能および精度の面でどのように優位性を示すか？
• RQ5 本手法は、高階のVO-FDEsにどの程度一般化可能か？

主な発見

• 提案手法は、変数順位分数マター振動子の2階VO-FDEに対して高い精度で解を達成した。
• 非線形ダイナミクスを示すDuffing振動子に対しても、変数順位導関数を適切に捉えた。
• 数値結果により、さまざまなテストケースにおいて手法の安定性と収束性が確認された。
• アルゴリズムは計算的に効率的で、容易にプログラミング可能であり、実装に適している。
• 陽的および陰的VO-FDEsの両方に対して、手法の頑健性が示された。
• 変数係数を有するVO-FDEsに対しても有効であることが結果から裏付けられ、適用範囲が拡張された。