[論文レビュー] Numerical solutions of the Dicke Hamiltonian

M. A. Bastarrachea-Magnani, Jorge G. Hirsch|Redalyc (Universidad Autónoma del Estado de México)|Aug 2, 2011

Spectral Theory in Mathematical Physics被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、光場のFock状態とcoherent-stateに基づく基底を用いたDickeハミルトニアンの比較的数値的検証を提示する。coherent-state基底は、特に超放射相において、収束に必要な光子状態数と計算コストを顕著に低減することを示しており、大N計算が可能になる。両基底とも物理的観測量において一貫性を持つことが確認された。

ABSTRACT

We study the numerical solutions of the Dicke Hamiltonian, which describes a system of many two level atoms interacting with a monochromatic radiation field into a cavity. The Dicke model is an example of a quantum collective behavior which shows superradiant quantum phase transitions in the thermodynamic limit. Results obtained employing two different bases are compared. Both of them use the pseudospin basis to describe the atomic states. For the photon states we use in one case Fock states, while in the other case we use a basis built over a particular coherent state, associated to each atomic state. It is shown that, when the number of atoms increases, the description of the ground state of the system in the superradiant phase requires an equivalent number of photons to be included. This imposes a strong limit to the states that can be calculated using Fock states, while the dimensionality needed to obtain convergent results in the other basis decreases when the atomic number increases, allowing calculations that are very difficult in the Fock basis. Naturally, it reduces also the computing time, economizing computing resources. We show results for the energy, the photon number and the number of excited atoms, for the ground and the first excited state.

研究の動機と目的

• 有限Nに対して正確な解が得られない有限サイズのDickeハミルトニアンを効率的に解くための数値的手法を開発・比較すること。
• 原子数Nの増加に伴い、光子切断数が不適切に増加するFock基底における計算のボトルネックを解消すること。
• 原子の擬spin状態に関連するcoherent-stateに基づく新規基底の性能と収束性を評価すること。
• 基底状態および第一励起状態の主要な物理的観測量（エネルギー、光子数、励起原子数）を計算・比較すること。
• coherent-state基底を用いて、より大きな系における超放射量子相転移を研究可能であることを示すこと。

提案手法

• 光場のFock状態とcoherent-stateに基づく基底の2種類を用いて、Dickeハミルトニアンの数値的対角化を実施する。
• Fock基底では、光子の数状態|n⟩と原子の擬スピン状態|j,m⟩を用い、標準的なDickeハミルトニアンから行列要素を導出する。
• coherent-state基底では、各原子状態に付随するcoherent状態|α⟩を用いて光場のヒルベルト空間を構築し、原子配置に適合した基底を形成する。
• 熱力学的極限を正しく保つために、相互作用項を1/√Nでスケーリングし、Dickeモデルの集団的性質を維持する。
• 計算効率は、Nと結合強度γの増加に伴い、必要な光子切断（n_maxまたはN_max）と計算時間の変化を追跡することで評価する。
• エネルギー、光子数⟨a†a⟩、原子励起数⟨J_z⟩といった物理的観測量を計算し、j = N/2で正規化することで、系サイズのスケーリングを検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Fock基底とcoherent-state基底において、原子数Nと結合強度γの増加に伴い、必要な光子切断（n_maxまたはN_max）はどのように変化するか？
• RQ2 特に超放射相において、coherent-state基底はFock基底よりも少ない状態数で収束結果を達成できるか？
• RQ3 両基底において、基底状態および第一励起状態のエネルギー、光子数、原子励起数がγとNとともにどのように変化するか？
• RQ4 coherent-state基底は、物理的正確性を保持しつつ、計算時間とリソース使用量をどの程度削減できるか？
• RQ5 coherent-state基底は、熱力学的極限における既知の解析的極限および相転移の特徴を正確に再現できるか？

主な発見

• Fock基底では、γとNの増加に伴い、必要な光子数n_maxが急激に増加し、j = 10およびγ = 2.0では78を超えることが確認され、大N計算は非現実的になる。
• これに対して、coherent-state基底ではj = 10およびγ = 2.0の条件下でN_max = 13で十分であり、計算時間も顕著に短縮されている（Fock基底の2499.96秒対coherent基底の583.3秒）。
• j = 20およびγ = 2.0の条件下では、Fock基底は実用的な限界内で収束せず（n_maxの報告なし）、一方coherent基底はN_max = 10で収束し、計算時間は888.784秒で達成された。
• 基底状態エネルギーはγの増加に伴い単調に減少し、臨界結合強度で明確な折り返し（kink）を示しており、超放射相転移と整合的である。
• 基底状態における光子数の期待値は、臨界γで急激に増加し、超放射相におけるマクロな光子占有を示している。
• 基底状態における励起原子数⟨J_z⟩は、臨界結合強度で顕著に低下し、正常相から超放射相への転移が確認された。