[論文レビュー] Numerical Solver for the out-of-equilibrium time dependent Boltzmann Collision operator: Application to 2D materials

Indrajit Wadgaonkar, Michael Wais+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2021

Quantum and electron transport phenomena参考文献 92被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、2次元材料における非平衡状態の時間発展ボルツマン散乱演算子に対して、数値的に安定で適応的時間刻みの解法を提示している。この手法により、平衡に近い近似を用いずに、非平衡電子ダイナミクスの高精度なシミュレーションが可能となる。本手法は粒子数、運動量、エネルギーを保存するが、実際のバンド構造と散乱振幅を扱うことができ、高エネルギー励起状態が低エネルギー状態よりも速く熱平衡化することを明らかにした。そのプロセスは非指数的で、二重指数的減衰プロファイルを示す。

ABSTRACT

The Time Dependent Boltzmann equation (TDBE) is a viable option to study strongly out-of-equilibrium thermalization dynamics which are becoming increasingly critical for many novel physical applications like Ultrafast thermalization, Terahertz radiation etc. However its applicability is greatly limited by the impractical scaling of the solution to its scattering integral term. In our previous work\cite{Michael} we had proposed a numerical solver to calculate the scattering integral term in the TDBE and then improved on it\cite{1DPaper} to include second degree momentum discretisation and adaptive time stepping. Our solver requires no close-to-equilibrium assumptions and can work with realistic band structures and scattering amplitudes. Moreover, it is numerically efficient and extremely robust against inherent numerical instabilities. While in our previous work \cite{1DPaper} we showcased the application of our solver to 1D materials, here we showcase its applications to a simple 2D system and analyse thermalisations of the introduced out-of-equilibrium excitations. The excitations added at higher energies were found to thermalise faster than those introduced at relatively lower energies. Also, we conclude that the thermalisation of the out-of-equilibrium population to equilibrium values is not a simple exponential decay but rather a non-trivial function of time. Nonetheless, by fitting a double exponential function to the decay of the out-of-equilibrium population with time we were able to generate quantitative insights into the time scales involved in the thermalisations.

研究の動機と目的

• 強い非平衡状態における時間発展ボルツマン方程式の散乱積分を、数値的に安定かつ効率的に解くための解法を開発すること。
• 2次元材料における電子の熱平衡化をシミュレートする際に、平衡に近い近似や緩和時間近似に依存しないこと。
• ドーピングされたグラフェンのような2次元系における超高速熱平衡化ダイナミクスを、実際のバンド構造と散乱振幅を用いて高精度にシミュレート可能にすること。
• テラヘルツおよび超高速光物理学に関連する新規2次元材料における非平衡キャリアダイナミクスを研究するための堅牢なフレームワークを提供すること。

提案手法

• 線形化されていない散乱演算子を扱うために、時間発展ボルツマン方程式における多次元散乱積分を計算する数値アルゴリズムを開発した。
• 適切な数値積分と離散化スキームを用いることで、粒子数、運動量、エネルギーの正確な保存を実現した。
• 数値誤差を低減し、安定性を向上させるために、2次精度の運動量離散化を導入した。
• 時間発展中の精度を維持し、物理的に不自然な分布値を避けるために、適応的時間刻みを採用した。
• パウリの排他原理に起因する四次元散乱演算子を完全に扱い、すべての位相空間要因と運動量保存則（デルタ関数を用いて）を含めた。
• 妥当性の検証として、実際の電子分散と散乱振幅を用いた2次元モデル系（ドーピングされたグラフェン）を用いた検証を実施した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドーピングされたグラフェンのような2次元材料において、平衡に近い仮定を用いずに、非平衡状態の電子励起がどのように熱平衡化するか？
• RQ2 非平衡分布関数の時間発展は、単純な指数関数的減衰に従うのか？
• RQ3 系の初期エネルギーに依存して、熱平衡化率はどのように変化するか？
• RQ4 二重指数関数的フィットは、熱平衡化プロセスの複雑な時間発展を正確に捉えることができるか？
• RQ5 超高速励起下における2次元材料の電子熱平衡化を支配する主要な時間スケールは何か？

主な発見

• ドーピングされたグラフェンにおいて、高エネルギー励起状態は低エネルギー励起状態よりも速く熱平衡化することが判明し、緩和ダイナミクスに強いエネルギー依存性があることが示された。
• 非平衡分布関数の熱平衡化過程は単純な指数関数的減衰に従わず、複雑で非自明な時間発展を示した。
• 二重指数関数的関数は、非平衡分布関数の減衰を非常に良好にフィットでき、複数の緩和時間スケールを定量的に抽出可能であることがわかった。
• 数値的解法は、すべてのシミュレーションステップにおいて粒子数、運動量、エネルギーを正確に保存しており、数値的不安定性に対して極めて高い耐性を示した。
• 本手法は、平衡に近い近似や緩和時間仮定を一切用いず、強い非平衡状態のダイナミクスを高精度にシミュレート可能である。
• 本解法は、実際のバンド構造と散乱振幅を扱えるため、グラフェンを含む2次元材料における超高速現象の研究に適している。